双曲线焦点三角形面积计算公式（变化的正三角形）

如图，对一个边长为1的单位正三角形，在初始时刻，三个动点各自位于三角形的三个顶点处。随后同时出发，以相同的速度沿着三角形的边运动。三个动点的连线在运动的过程中始终形成一个新的，小一点的正三角形。效果如下：

求中间空白区域的面积。

直观上来看，中间空白区域很像一个莱洛三角形（如下图深色部分），但稍微分析一下，就知道这一定不是莱洛三角形：

莱洛三角形的三条边是三条对应60°圆周角的圆弧，而围出空白区域的三条曲边，我们不妨取其中的一条看看。如下，

这明显不是圆弧，看上去更像一条抛物线。

事实上，如果学过微积分或微分几何，很容易通过解析几何的方法计算曲线族的包络:

建立上图所示的坐标系，AB=BC=AC=1。点E和点F是两个动点。满足AF AE=1。设AF=t，则

于是直线EF的点斜式方程为

令

我们就得到了一组含有参数t的直线族

它的包络曲线的方程为

消去参数t,可得

这是一个开口向下，以y轴为对称轴，（0，√3/4）为顶点，且经过点（-1/2，0）和（1/2，0）的 抛物线！

根据对称性，另外两条包络曲线也是形状相同的抛物线。

既然要计算面积，就需要知道他们交点的坐标。

我们不必再去计算另外两个抛物线的方程，根据如下对称性，

蓝色抛物线和红色抛物线的交点，也是蓝色抛物线和正三角形一条高的交点。

这条高的方程很容易求，从而和抛物线的交点为(-1/6,2√3/9)。过程略。

连接三个交点，这样待求面积转化为一个边长为1/3的正三角形和三个小曲边三角形的面积。

即

大功告成。

过程稍显复杂。难点主要在于包络曲线的计算。

如果已经知道是抛物线，那么直接根据抛物线经过的三个特殊点（也就是正三角形底边的两个顶点B和C，底边上中位线的中点D）得到其方程，就不必求偏导联立方程组计算了。

怎样确定这是一条抛物线呢？

注意到求出的抛物线恰好以三角形的中心为焦点，再联系抛物线的光学几何性质，不难得到其切线恰好将三角形的周长按1:2分成两部分。根据同一法立得，包络曲线正是这条抛物线。

对上图所示正三角形，一条抛物线经过其两个顶点。抛物线以该三角形的中心为焦点，以该三角形的高为对称轴。取抛物线上位于在三角形内部的任意一点，做切线DE。

证明：线段DE将正三角形的周长按固定比1:2分成两部分。

这个问题留给你们。