刚体转动惯量理论值应该怎么算（刚体转动惯量公式推导2-）

写在前面：原文采用word文档编写，因导入时公式无法正常显示，曾采用图片的方式分享，效果不是很理想。本文将公式采用头条平台 “添加公式”功能输入，所有公式都得到完美呈现，对于追求完美的笔者来说这个功能解决了极大的困扰。因文章较长包含公式较多，本次以系列的形式分享，以便让读者有更好的体验。

一、前言

非标设备常用的机械传动方式，包括皮带传动、链传动、齿轮传动、丝杆传动等等。马达选型是机械传动设计要解决的首要问题，当我们按下启动按钮时，设备能够按照预想的要求运行起来，设计就几乎成功了一大半。马达选型时转动惯量是很重要的参数之一，一般来说我们选用外购标准件如带轮、链轮、齿轮及滚珠丝杆，还有连轴器、轴承等，其转动惯量都可以在制造商提供的型录中查到，它是根据零件的材料、外形结构特征和尺寸计算得到的，通常直接选用即可。

本文将分享圆盘的转动惯量的计算公式及其推导过程，让读者在电机选型过程中做到“知其然也知其所以然”，这样才能真正熟练掌握并灵活应用，在设计和调试、使用过程中遇到问题才能快速解决。

二、基本概念

转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，其数学表达式：

式中：J - 转动惯量；- 刚体的某个质点的质量；- 该质点到转轴的垂直距离。

这是刚性体转动惯量推导计算的基本依据。

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三、圆盘的转动惯量

1 转轴z通过薄圆盘中心且与薄圆盘垂直

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薄圆盘的转动惯量：

式中：J ─ 薄圆盘的转动惯量，m ─ 薄圆盘的质量，R ─ 薄圆盘的半径。

接下来是公式的详细推导过程，因为步骤非常详尽，需要有一定耐心，不要动笔就可以看到清清楚楚明明白白。

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在圆盘上取一半径为 r，宽度为的细圆环，

因趋于无限小，细圆环可以看成是由宽度为长方形的条环绕而成，

则该圆环的面积为：

圆盘的质量面密度为：

圆环的质量为:

该圆环对转轴的转动惯量为:

则整个圆盘的转动惯量为：

2 转轴沿薄圆盘直径

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薄圆盘的转动惯量：

式中：J ─ 薄圆盘的转动惯量，m ─ 薄圆盘的质量，R ─ 薄圆盘的半径

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如上图所示，在薄圆盘上沿z轴距离为z处取一宽度为dz长为2Rg的长方形，长方形端点和圆心的连线与z轴夹角为， ，

薄圆盘的面密度为：

长方形质量为：

长方形的转动惯量为：

则整个薄圆盘的转动惯量为：

─②

【说明】② 用到了三角函数公式：

公式推导过程如下：

根据倍角公式： ,