高中数学三角函数部分练习题（高中数学大题专练）

肖博数学大题专练·(十五) 三角函数与解三角，今天小编就来说说关于高中数学三角函数部分练习题?下面更多详细答案一起来看看吧!

高中数学三角函数部分练习题

肖博数学大题专练·(十五) 三角函数与解三角

形

A 级 基础达标

1.(2017·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为

a，b，c。已知 asinA=4bsinB，ac= 5(a

2-b

2-c

2

)。

(1)求 cosA 的值;

(2)求 sin(2B-A)的值。

解 (1)由 asinA=4bsinB，及 a

sinA=

b

sinB，得 a=2b。由 ac= 5(a

2

-b

2-c

2

)，及余弦定理，得 cosA=

b

2 c

2-a

2

2bc =

-

5

5

ac

ac =-

5

5 。

(2)由(1)，可得 sinA=

2 5

5 ，代入 asinA=4bsinB，

得 sinB=

asinA

4b =

5

5 。

由(1)知，A 为钝角，所以 cosB= 1-sin2B=

2 5

5 。于是 sin2B=

2sinBcosB=

4

5，cos2B=1-2sin2B=

3

5，故 sin(2B-A)=sin2BcosA-

cos2BsinA=

4

5×











-

5

5

-

3

5×

2 5

5 =-

2 5

5 。

2.(2017·山东高考)设函数 f(x)=sin











ωx-

π

6 sin











ωx-

π

2 ，其中

0<ω<3。已知 f











π

6 =0。

(1)求 ω;

(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐

标不变)，再将得到的图象向左平移π

4个单位，得到函数 y=g(x)的图象，

求 g(x)在









 -

π

4，

3π

4 上的最小值。

2

解 (1)因为 f(x)=sin











ωx-

π

6 sin











ωx-

π

2 ，

所以 f(x)=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx= 3











1 

2

sinωx-

3

2

cosωx = 3sin











ωx-

π

3 。

由题设知 f











π

6 =0，所以ωπ

6 -

π

3=kπ，k∈Z。

故 ω=6k 2，k∈Z。又 0<ω<3，所以 ω=2。

(2)由(1)得 f(x)= 3sin











2x-

π

3 ，

所以 g(x)= 3sin











x

π

4-

π

3 = 3sin











x-

π

12 。

因为 x∈









 -

π

4，

3π

4 ，所以 x-

π

12∈









 -

π

3，

2π

3 。

当 x-

π

12=-

π

3，即 x=-

π

4时，g(x)取得最小值-3

2。

3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，

c。已知 sinA 3cosA=0，a=2 7，b=2。

(1)求 c;

(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积。

解 (1)由已知条件可得 tanA=

sinA

cosA=- 3，所以 A=

2π

3 。

在△ABC 中，由余弦定理得 28=4 c

2-4ccos

2π

3 ，

即 c

2 2c-24=0。

解得 c=-6(舍去)，或 c=4。

(2)如图由题设可得∠CAD=

π

2，

所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=

π

6。

3

故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为

1

2

AB·AD·sin

π

6

1

2

AC·AD

=1。

又△ABC 的面积为1

2×4×2sin∠BAC=2 3，

所以△ABD 的面积为 3。

4.(2017·湖北七市联考)如图，已知△ABC 中，角 A，B，C 的对

边分别为 a，b，c，C=120°。

(1)若 c=1，求△ABC 面积的最大值;

(2)若 a=2b，求 tanA。

解 (1)由余弦定理得 a

2 b

2-2abcos120°=1，

a

2 b

2 ab=1≥2ab ab=3ab，

当且仅当 a=b 时取等号，

解得 ab≤

1

3。

故 S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

12，

即△ABC 面积的最大值为 3

12。

4

(2)∵a=2b，∴由正弦定理得 sinA=2sinB，

又 C=120°，∴A B=60°，

∴sinA=2sin(60°-A)= 3cosA-sinA，

∴ 3cosA=2sinA，∴tanA=

3

2 。

B 级 能力提升

5.(2017·广州综合测试(一))如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边

上，∠PAC=60°，PC=2，AP AC=4。

(1)求∠ACP;

(2)若△APB 的面积是3 3

2 ，求 sin∠BAP。

解 (1)在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP AC=4，

PC2=AP2 AC2-2·AP·AC·cos∠PAC，

所以 2

2=AP2 (4-AP)

2-2·AP·(4-AP)·cos60°

整理得 AP2-4AP 4=0，解得 AP=2。

所以 AC=2，所以△APC 是等边三角形，

所以∠ACP=60°。

(2)解法一：因为∠APB 是△APC 的外角，

所以∠APB=120°。

因为△APB 的面积是3 3

2 ，

所以1

2

·AP·PB·sin∠APB=

3 3

2 ，

解得 PB=3。

在△APB 中，AB2=AP2 PB2-2·AP·PB·cos∠APB=2

2 3

2-

2×2×3×cos120°=19，

5

所以 AB= 19。

在△APB 中，由正弦定理得 AB

sin∠APB=

PB

sin∠BAP，

所以 sin∠BAP=

3sin120°

19 =

3 57

38 。

解法二：作 AD⊥BC，垂足为 D，如图。

由(1)知，△APC 是边长为 2 的等边三角形，

所以 PD=1，AD= 3，∠PAD=30°。

因为△APB 的面积是3 3

2 ，

所以1

2

·AD·PB=

3 3

2 。

解得 PB=3，所以 BD=4。

在 Rt△ADB 中，AB= BD2 AD2= 19，

所以 sin∠BAD=

BD

AB=

4

19，cos∠BAD=

AD

AB=

3

19。

所以 sin∠BAP=sin(∠BAD-30°)=sin∠BADcos30°-cos∠

BAD·sin30°=

4

19×

3

2 -

3

19×

1

2=

3 57

38 。

6.(2017·东北三校联考)已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边

分别为 a，b，c，且a-c

a-b

=

sinA sinB

sin(A B)

。

(1)求角 B 的值;

(2)若△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 面积 S 的最大值。

6

解 (1)∵A B C=π，∴sin(A B)=sinC，

a-c

a-b

=

sinA sinB

sinC ，

由正弦定理得a-c

a-b

=

a b

c ，即 b

2=a

2 c

2-ac，

结合余弦定理，有 cosB=

1

2，B∈(0，π)，∴B=

π

3。

(2)解法一：2R=2=

b

sin

π

3

⇒b= 3，

所以，b

2=3=a

2 c

2-2accos

π

3≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c 时

取等号)。

所以 S=

1

2

acsinπ

3≤

3 3

4 。

解法二： S =

1

2

acsinB =

3

4

ac =

3

4 ×2sinA×2sinC = 3

sinAsin









2π 

3 -A = 3sinA











3 

2

cosA

1

2

sinA =

3

2

( 3sinAcosA sin2A)=

3

2 









3 

2

sin2A-

1

2

cos2A

1

2

=

3

2

sin











2A-

π

6

3

4 。

∵0

2π

3 ，∴-

π

6

<2A-

π

6

<

7π

6 ，

∴2A-

π

6=

π

2，即 A=

π

3时，S 取到最大值3 3

4 。

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