五岁天才少年攻克世界数学大赛（从海盗分金到）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

从“海盗分金”到“囚徒困境”——博弈该如何进行？

作者 : 张熠

作品编号：072

博弈论应该是数学中最见不到数学影子的一个分支，因而我们在博弈论中，往往用到的数学理论知识大部分是极为简单易懂的。但是，博弈论不在数字，而在理智。

为什么这么说呢？我们来看下一个经典的问题——“海盗分金”。

例1：有5名海盗得到了100枚金币，现在要按照顺序，每名海盗提出一种具体的分配金币的意见（具体到每一个人应分得多少枚金币），由在场所有海盗（包括自己）进行表决，若大于一半的人认可此方案，方案通过，否则，此海盗将被扔入大海。假设每名海盗都是经济学假定的“理性人”，即绝顶聪明，能充分考虑到每一种情况而进行每次的判断，在投票过程中海盗们不能交流，且它们都遵守此规则问第一名海盗应该怎样提出分配方案，才能使自己的方案通过且自身利益最大化？（以下海盗从第一到第五分别称为A,B,C,D,E）

对于这种问题，我们不妨逆序递推来试试：（以下过程海盗均能想到）

1.若我们是海盗E，且前三位海盗已经死亡，那么海盗D的方案无论如何都不会通过【（0,100）除外】，所以我们无论如何都要反对海盗C。

2.若我们是海盗D，在知道1.的情况下，我们是一定会给C投以赞同票，否则我们的性命不保。

3.若我们是海盗C，在知道1.2.的情况下，我们会做出（100.0.0）的方案来让自己的利益获得最大化。

4.若我们是海盗B，在知道3.的情况下，我们只要用（98.0.1.1）的方案来让DE的利益有一部分，避免3.情况的出现。以此来将自己的利益最大化。

5.假定我们是海盗A，在知道4.的情况下，我们必将提出(97，0，1，2，0)或(97，0，1，0，2)的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号(或5号)2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号(或5号)来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了!

如此，我们得到一个结论，在大家理性的情况下，逆推法是个不错选择。

但是，凡事都有例外，我们来看一个理性与信任的题：囚徒困境。

例2：两个嫌疑犯作案后被警察抓住，分别关在不同的屋子里接受审讯。警察知道两人有罪，但缺乏足够的证据。警察告诉每个人:如果两人都抵赖，各判刑一年;如果两人都坦白，各判八年;如果两人中一个坦白而另一个抵赖，坦白的放出去，抵赖的判十年。于是，每个囚徒都面临两种选择:坦白或抵赖。

我们尝试分析这题，我们发现在对于个体而言，坦白是最佳选择，因为对面无论如何选择，自己都有俩种情况：释放或8年的牢。所以，俩人在都不信任对方的情况下会做出一个解：都做八年的牢。可是，最佳选择明明是都抵赖才对。

由此，我们不妨提出一个设想，即当每个人都考虑个体利益最大化时，反而会使群体利益达不到最大化。因而囚徒困境所反映出的深刻问题是，人类的个人理性有时能导致集体的非理性--聪明的人类会因自己的聪明而作茧自缚，或者损害集体的利益。

这，往往反映出了博弈论中理想现实的缩影，也往往让我们对现实发出更多的思考，在思考的同时，我们不妨思考下标题中的“博弈论该如何进行”，博弈论的困境，往往是自己对自己所做出的困境，即无法达到最佳理智状态。为解决这个困境，最重要的便是从多种思考角度出发，映射到现实中，思考对方的行动，依情况而行，见招拆招，方可取胜！

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