除法和减法的运算性质（数的运算与扩张）

下面，我们讨论如何通过加法运算推演出其他的运算。

一．乘法

乘法的本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写，2*3表示两个3相加。一般地，对a,b∈N，规定乘法运算a*b表示a个b相加，因此乘法具有与加法类似地算律，满足：

1. 封闭性：如果a,b∈N，则a*b∈N

2. 交换律：a*b=b*a

3. 结合律：(a*b)*c=a*(b*c)

4. 分配律：(a b)*c=(a*c) (b*c)

二．减法

减法是加法的逆运算。因为可能出现负整数，需要把运算的集合扩大，从自然数集合N扩张到整数集合Z。整数集合包含正整数（自然数），0和负整数。据记载，负整数也是印度人首先引入的，是为了表示负债。大约在公元628年左右，印度数学家婆罗摩笈多最早给出了负数的四则运算。

减法是通过加法来定义的。对于a,x,b∈Z，如果a x=b,则称x为b减a的差，求差的运算叫做减法，记为x=b-a。可以验证这个规定蕴涵着a 0=a,(-a) a=0。整数Z对于减法运算封闭，即a, b∈Z,则a-b∈Z。

三．除法

除法是乘法的逆运算。与减法一样，我们需要进一步扩大运算的集合，从整数集合Z扩张到有理数集合Q，有理数集合包括：整数和分数。这样，有理数系包括了一切形如m/n的数，其中m,n∈Z,n≠0。与负数不同，几乎所有的文明从一开始就能够接受基于自然数的分数，即形如m/n的数，其中m,n∈N。这是与人们的经验有关的，因为在生活中需要处理部分与整体的关系，线段长度的比例关系，数量分配的比例关系。需要注意的是，人们最初使用的分数都是真分数，是对于比例的刻画，而不是近代意义上扩张了的有理数。

除法是通过乘法来定义的。对于a,x,b∈Q，如果a*x=b，则称x为a与b的商，求商的运算叫做除法，记为x=b/a。这个规定蕴涵着下面的关系成立：a*1=a，a/a=1，b/a=d/c等价于a*d=b*c。有理数集合Q对于除法运算封闭，即a,b∈Q,a≠0，则b/a∈Q。

可以看到，减法，乘法和除法都是基于加法的，称这四种最基本的运算为四则运算，有理数集合Q对于四则运算是封闭的。