素数定理误差（一个奇怪的素数序列）

• 雕塑家安东帕森斯的“传递时间”。

素数通常被描述为数学的“原子”，或者至少是数字。素数恰好有两个不同的因素：本身和1.（因此1不被认为是素数。）所有大于1的整数都是素数或素数的乘积。

一个好奇的人类可以询问关于素数的第一个问题是有多少，并且最早的证据之一是有无数多个素数是欧几里德元素的可爱论证。

欧几里得的证明以有限的素数列表开始，并描述了一种生成不在列表中的素数的方法。如果你的质数是p 1，p 2，p 3，……，p n，取所有这些的乘积：p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n并加1.这个数，p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n 1，不能被我们列表中的任何素数整除； 当我们用其中一个素数除以它时的余数是1.因此，素数的有限列表是不完整的。

关于该证明的常见误解是数量p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n 1本身必须是素数。情况不一定如此。为了了解原因，我们可以开始考虑如果我们从第一个素数2开始我们会得到什么数字，并使用它来使用欧几里德证明的过程找到新的素数。第一个很简单：2 1 = 3，3是素数。为了找到下一个数字，我们乘以2×3并加1得到7，这是素数。继续：2×3×7 1 = 43，也是素数。2×3×7×43 1 = 1807，即13×139。

Euclid-Mullin序列是开始2,3,7,43,13等的序列：第一个术语是2，每个后续术语是1的最小素因子加上所有先前术语的乘积。它是在线整数序列百科全书中的序列A000945。

（旁边的问题：Euclid-Mullin序列是数学中的多重同义词，在同义词之间具有最大的时间间隔吗？欧几里德，或写欧几里德元素的人或群体，生活在亚历山大大约公元前300年；美国数学家和工程师Albert Mullin出生于1933年，于2017年去世。如果你知道一个名字的名字，对于相隔2200年左右的人来说，请告诉我Twitter。）

Ken Ribet提到了Euclid-Mullin序列，当时我和我的主人Kevin Knudson和我谈论了我的播客My Favorite Theorem，从那以后它一直在我的大脑里嘎嘎作响。序列有无限多个术语，但我们只知道其中的51个。随着术语数量的增加，我们遇到了非常大的数字，需要花费很长时间来考虑因素，部分原因是序列反弹很多。第七项是第5项，但第九项有14位数！查找序列的第52个术语需要对335位数进行分解。

我们不知道每个素数是否出现在Euclid-Mullin序列中。未知出现在列表中的最小素数是41.选择最大而不是最小的素数的相似序列除以1和前面项的乘积， 避免了无限数量的素数。如果Euclid-Mullin序列确实避免了一些素数，为什么呢？我们可以看一下素数并判断它是否在序列中？

我被可爱而有趣的数学所吸引，所以我希望Euclid-Mullin序列包含所有素数。我喜欢这样一个事实：它会给我们一个新的自然顺序来输入素数。这就像把字母表中的字母按照拼音拼写的字母顺序排列：

HRABDWEFXLMNSIJGKQOPCTVYUZ（语音拼写有点争议，你的里程可能会有所不同）。

另一方面，如果不知何故我们能够发现序列中没有包含所有素数，那会不会很有趣，但我们无法弄清楚哪些素数从未出现过？我认为，最有趣的选择是让某人找出一个简单的规则来确定一个数字是否在Euclid-Mullin序列中。但是，嘿，一线希望是我们实际上可能会对质数有所了解！