离散数学简单的证明题（HaoR数学读本方阵问题）

　　HaoR_Mathematics

实心方阵

　　问题由来：

　　有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人？

　　这是长沙市2019年小学数学毕业考试的一道8分的应用题，算是一道拉分的大题了。

　　在人教版的教学中，虽然方阵属于四年级的知识点，但对于中空方阵的应用题，小学生接触的还是不多。

　　什么是方阵？

　　将若干个人或者物排成正方形即方阵。

　　掌握方阵的特点：

　　1、方阵的每边人或者物的数量相等；

　　2、相邻的两层，每边所含人或者物的数量相差为2；

　　3、相邻两层的人或者物的数量之差为8。

　　看下面的一个11×11的方阵就很清楚。

　　方阵有两个简单的公式，学习一下：

　　① 方阵的总数=每条边上的数量×每条边上的数量=（每条边上的数量）2

　　② 方阵每一层的数量=（该层每条边的数量 - 1）×4

　　③ 方阵每条边的数量=方阵每一层的数量÷4 1

　　对于①，比较好理解，对于②，解释一下，看图就一目了然：

　　为了简单计算，我们将每层上做了上面的划分，就有了②的公式。

　　做一道试题来测试一下。

　　例题1：运动会入场时要求运动员排成9行9列的正方形方阵。如果去掉2行2列，每个方阵减少运动员多少人？（“走进美妙的数学花园”解题技能展示大赛）

　　这样的试题，图示化后对解题思路的清晰有很好的帮助。

　　如上图，去掉2行2列，那么剩下7行7列，根据我们上面的公式，减少的人数：

　　9×9 - 7×7 =81 - 49 =32（人）

　　例题2：体操表演若排成每一横行和每一竖行中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人。若四个这样的方阵恰好可以合并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有______人（“希望杯”竞赛试题）

　　这个题目，关键是要知道每个方阵最外一圈16人对应的是什么样的方阵，根据我们前面学习的公式，即方阵每条边的数量=方阵每一层的数量÷4 1，所以它每条边对应的人数是16÷4 1=5，也就是5÷5的方阵。

　　四个这样的方阵，是10×10的方阵，最外边是10人，那么最外一圈的人数也有对应的计算公式，即（该层每条边的数量 - 1）×4，所以最外一圈的人数=（10 - 1）×4=36（人）。

　　练习一下。

　　例题3：一个正方形苗圃种满了树苗，后来又补种了19课，使得横、竖各增加了一排，正方形苗圃原来有多少棵树苗？（南京市竞赛试题）

　　答案：81（棵）。

　　中空方阵

　　所谓中空方阵，是指方阵中间为空心正方形的方阵。

　　解题时要用到的计算公式：

　　① 方阵每条边的数量=方阵每一层的数量÷4 1

　　② 方阵的总数=大实心方阵的总数 - 小实心方阵的总数

　　③ 方阵的总数=（最外边的每条边的数量 - 层数）×层数×4

　　对于②的公式，看上图可以清楚公式的由来。

　　我们来看本文开头的那道题。

　　例题4：有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人？（长沙市2019年小学数学毕业考试试题）

　　解：根据公式，方阵的总数=（最外边的每条边的人数 - 层数）×层数×4

　　360=（最外边的每条边的人数 - 6）×6×4

　　最外边的每条边的数量=21(人)

　　注意：如果用公式①，小学生没有学平方的运算，虽然也可以解出来，但是不适合。

　　　　假设最外边的每条边的人数为x，那么

　　　　　　x2 - [x - 6 × 2]2 =360

　　　　　　x=21（人）

　　例题5：小美将一些纸鹤摆成一个空心方阵，已知最外层她摆了44只纸鹤，最内层摆了20只纸鹤。那么，小美摆完这个方阵一共用了多少个纸鹤？（世奥赛地方晋级赛试题）

　　我们知道了最外层和最内层的每层纸鹤数量，我们知道相邻两层的数量之差是8，根据这一点我们就可以得到层数，再根据最外层的纸鹤数量和层数就可以得到总共用的纸鹤数。

　　解：方阵的层数=（最外层的数量 - 最内层的数量）÷8 1=（44 - 20）÷8 1=4

　　最外边的每边数量=最外边的总数量÷4 1=44÷4 1=12

　　方阵用的纸鹤数=（最外边的每条边的数量 - 层数）×层数×4=（12 - 4）×4×4=128(个)

　　答：小美摆完这个方阵一共用了128个纸鹤。

　　我们要因题制宜地去想解题的好办法，不必拘泥于固定的解题套路。

　　也可以根据

　　方阵的总数=大实心方阵的总数 - 小实心方阵的总数

　　这个来解。

　　方阵最外边每边数量=最外边的总数量÷4 1=44÷4 1=12

　　方阵最里边每边数量=最里边的总数量÷4 1=20÷4 1=6

　　方阵的总数=大实心方阵的总数 - 小实心方阵的总数=122 - (6 - 2)2=144 - 16=128(个)

　　上面的两种解法还是显得有点繁琐，可以像下面这样来解（因为层数少）：

　　已知最外层摆了44个，方阵的相邻两层的数量之差是8，那么

　　第二层：44-8=36

　　第三层：36-8=28

　　第四层：28-8=20

　　总共用了44 36 28 20=128（个）

　　方阵的变形

　　上面我们学习了实心方阵和中空方阵，学习了几个公式和一些解题方法。

　　如果我们进一步思考，如果不是方阵怎么解题，比如是个矩形的阵，又或者是矩形的中空阵？

　　再或者，如果是三角阵、六边阵、五角星阵怎么解呢？如果还是中空的呢？

　　题目有很多，变换也有很多。

　　对应的计算公式也会发生变化，你有兴趣和信心去总结吗？

　　归根到底，只要我们能通过图示化来清楚阵的排布方式，再归结到找出对应的数字规律，那么问题也会迎刃而解。

　　例题6：三国时的政治家、军事家诸葛亮有一次用360名士兵驻守城上，使敌人无论从哪一面墙看都有100名士兵把守，如下图。后来，为了打破敌人的围攻计划，诸葛亮抽掉100人突袭敌人，敌人看到城墙上的守军每边却增加了25人，诸葛亮是如何分布士兵的？画出分布图。

　　这个不是中空方阵，也不是方阵，但我们可以依照题目给出的条件逐步进行分析，知道找出问题的求解方法来。

　　原来有360人，抽掉100人，还剩下360-100=260人，诸葛亮的排兵不过就是城墙的边角上和中间的人数变化而已，最终的目的是使得每边增加了25人，也就是每边上100 25=125人，就是使得横排人数为125人，竖排人数也为125人，怎样求呢？

　　看上图，如果假设边角人数为a，中间人数为b，那么根据题目描述，则有

　　a b a = 125

　　4a 4b = 260

　　这样是不是就可以通过解方程来求出问题的答案来了？

　　答案：城墙边角60人，中间5人。

　　例题7：一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池。水池长8米，宽3米，水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺，恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么，共铺了多少圈？（北京市“数学解题能力展示”读者评选活动赛题）

　　像这种类型的应用题，一般小学生有一点不适应。

　　因为不具体，虽然题目中给出的是生活化的实景描述，但在小学生的脑海里不容易形成与所学知识的对应关系。

　　我们可以一点点来抽丝剥茧地分析。

　　首先，方砖是长和宽都为1米，那么从最里面开始，如图，8米就可以铺上8块，3米可以铺上3块，再加上四个边角上的4块，也就是最内层共有8 8 3 3 4=26块。

　　我们知道相邻两层的数量之差为8。

　　那么倒数第2层为26 8=34。

　　那么倒数第3层为34 8=42。

　　那么倒数第4层为42 8=50。

　　因为26 34 42 50=152，所以铺了4圈。

　　这道题也可以应用面积的方法来求，一般小学生可能不容易理解。

　　从外面看，总共大的面积就是152 3×8 = 176平方米。

　　假设铺了K层，那么就有（ 3 2K ）×（ 8 2K ）=176。

　　化简并分解因式，（ K - 4 ）（ 2K 19 ）=0

　　K不能为负值，所以K=4（层）。

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