高考数学平面几何知识（立体几何异面直线夹角）

立体几何中的高考高频题型——求异面直线的夹角属于中档题，通常的做法是建系求解，这样易于操作，但耗时稍长。在高考考场上惜时如金，如果能更快的解答这类题，就可以取得更大的心理优势，减少潜在的失分，多得分。学霸之所以能取得高分，是因为他们平常做题多想少算，一题多解，融会贯通地研究各种题型的解法。考试时会根据题目的具体情境，选择最优的解法。下面将求异面直线所成角三种方法归纳如下。

一、求异面直线夹角之向量法

①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

思路分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

答案 :C

总结：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

二、求异面直线夹角之几何法

①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.

例2：[2018全国卷2，9]

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，为棱CC₁的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为

思路分析：利用正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD∥AB，将问题转化为求共面直线AB与AE所成角的正切值，在△ABE中进行计算即可.

解析：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD∥AB，

所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB，

设正方体边长为2a，

则由为棱CC1的中点，可得CE=a，

答案：C

总结：几何法主要是通过平移，将两条异面直线移到一个三角形中，再进行求解。求解思路是：①找到或做出该角；②将该角放到一个三角形中并求解它的某个三角函数值；③根据该角的取值范围合理取舍。

三、求异面直线夹角之补形法

补形法是将一个几何体补成另一个几何体后，在新的几何体中研究原几何体中有关元素的位置关系及其大小。

例3：[2016年全国卷I理11]

平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A．α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m．α∩平面ABB1A1=n．则m，n所成角的正弦值为( )

思路分析：题目中线面关系、几何体较为单一，所求几何关系不易观察。如果将题目中的几何体进行复制补形，隐性的几何关系就可通过平行转化，变得直观。

解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1的下方补两个相同的正方体，如图。因为AR∥B1D1，AF∥D1C，可得平面ARF∥平面B1CD1，由题设可知AR，AF分别为m，n。

由图可知△CB1D1为等边三角形，故m，n所成角的角为60°,选项A正确.

答案：A

总结：补形法是站在高起点上思考问题，可极大提高考生空间想象能力，具有化抽象为直观，化隐为显的强大功能。补形法通常是将一般的几何体补成特殊的正方体或长方体,将棱锥补成棱柱等.

上面三种方法,是求解异面直线夹角的常用方法,学霸们经常采用的是补形法!如果你有更好的方法,可以发表评论,共同学习!