怎么证明圆的面积和直径之比（如何证明任意圆的周长和直径之比为相等的常数）

人类使用圆周率π有着相当漫长的历史，古人早就知道任何一个圆的周长和直径之比是一个常数，这个常数被定义为圆周率，相关证明方法并不复杂。

如上图所示，假设有两个同心圆O1和O2，圆心为O，它们的半径分别为r1和r2，并且r1<r2。然后把两个同心圆分成n等份，考察其中一等份。可以看到，△AOB和△COD均为等腰三角形，OA=OB=r1，OC=OD=r2。再由∠AOB=∠COD，就能证明△AOB∽△COD。由此可得如下的关系：

圆O1和O2内接正n边形的周长p1和p2分别为：

p1=n·AB

p2=n·CD

如果圆分成的等份越多，那么，内接正多边形的周长就越接近于圆，所以圆O1和O2的周长c1和c2与p1和p2有如下的关系：

c1≈p1=n·AB

c2≈p2=n·CD

如果取极限，当圆分为无穷多等份时，即n趋于无穷大时，内接正多边形的周长就会等于圆的周长，所以有如下的关系：

把上述两式经过变形可得如下的形式：

由于相似三角形的关系，AB/r1=CD/r2，所以可以得到如下的关系：

因此，任何圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是我们所说的圆周率π。

当然，圆的周长与半径的比值也是常数（记作τ，大约为6.28），之所以数学家没有把这个常数定义为圆周率，是因为用圆的周长与直径定义的常数使用起来更为方便，例如，用公式表示圆的面积时，πr^2显然比τ/2r^2来得更方便。虽然曾有人主张把π替换成τ，因为在某些公式中用τ会更简洁，但也仅限于少数公式，所以π的地位无可撼动。