七年级数学书有理数法则（中学生课外读物数的产生与发展）

中学生课外读物《数的产生与发展》（有理数内有关问题），今天小编就来说说关于七年级数学书有理数法则?下面更多详细答案一起来看看吧!

七年级数学书有理数法则

中学生课外读物《数的产生与发展》（有理数内有关问题）

1.有理数与小数

由前知道，整数与分数组成有理数。

而认识了正分数，负分数是正分数的相反数，但多了一个-号而已。

对正分数的认识，从最简单的开始。

1／2＝1÷2＝0.5，

1／4＝1÷4＝0.25，

1／5＝1÷5＝0.2，

1／8＝1÷8＝0.125，

1／10＝0.1，

1／100＝0.01，

1／5000＝0.0002，

…

这样的分数相除后，除到小数后某一位就除尽了，这样的小数叫有限小数。整数无小数部分（因小数部分全为0）。

可以得到有无数个分数均为有限小数。

反过来，有限小数均可化为分数。如：

0.57325

＝0.5＋0.07＋0.003＋0.0002＋0.00005

＝5／10＋7／100＋3／1000 2／10000＋5／100000

＝57325／10000

再约分至最简分数即得。

其它类似。

所以，有限小数就是分数，分数就是有限小数。这样一来，整数与有限小数都是有理数。

但还有一部分分数，化成小数是除不尽的，即小数点后有无数多位小数，我们把它们称为无限小数。

人们经过研讨发现，分数化为小数是无限小数时，后面的小数总是某段小数不断重复出现的形式。如：

1／3＝0.33333333…

其中3不断重复出现。

1／6＝0.16666666…其中6不断重复出现。

1／7＝0.142857142857142857…其中142857不断重复出现。

1／9＝0.11111111…其中1不断重复出现。

1／11＝0.0909090909090…其中90不断重复出现。

1／13＝0.076923076923076923076923…其中076923不断重复出现。

这样的小数我们称为无限循环小数。

∵1／9＝0.1111111111111…

∴0.77777777…

＝7×0.11111111…＝7／9，

∵1／99＝0.01010101…，

∴0.232323…

＝23×0.01010101…

＝23／99，

∵1／999

＝0.000100010001…

∴0.831831831831…

＝831×0.000100010001…

＝831／999，

3.5221703703703…

＝3＋5221／10000＋0.703703703…／100000

＝3＋5221／10000＋703／999÷100000

＝分数。

一般地，无限循环小数用数列求和及极限的有关知识可以证明，均可化为分数。

所以，无限循环小数是有理数。

这样就有：

从小数角度来说，有理数包括整数，有限小数和无限循环小数三大部分。当然，整数，有限小数和无限循环小数均是有理数。

问题：

0.1010010001000010000010000001…后面出现的每两个1之间的0的个数是不断增加的，这个小数就不是一个循环小数，它能化为分数吗？它是有理数吗？你还能写出类似的小数吗？

2.质数与合数

大家应该记得，在研究分数运算时，要对分数进行通分和约分，在通分和约分时要找要正整数的最大公约数和最小公倍数，其中要将每个正整数分成几个整数之积，并且分到不能再分为止。

一个大于1正整数不能再分成另两个正整数之积的数，我们称之为质数（或素数），即若一个大于1的正整数只能写成1与它本身之积而不能写成其它形式，则此数为质数（或素数）。如：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，91，97，101，…

其它的大于1的正整数称为合数。如：2，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30，32，33，34，35，36，38，39，40，…

大于2的合数一定可以写成另几个质（或素）数之积。

正整数中，1既不是质数也不是合数。

在长期的运算积累中，人们发现了质数与合数的好多结论：

大于2的质数是奇数，

各位数字之和能被3整除的正整数是3的倍数，

末位是0或5的正整数是5的倍数。

要要得到一个数为质数，只需要将它分别除以小于它的质数2，3，5，7，11，13，17，19，…，让除数逐渐增加，整数商则一直减少，并且余数总不为0，当商比除数还小时，仍然除不断，即商仍不为整数，则此数为质数。

如101，只须选除数为2，3，5，7，分别去求商，得到的商全部不为整数，则101就是质数。不需要再用101去除以11，13，17，19等质数了。

这个方法，对于比较小的正整数来判断其是否为质数是有效可行的。

截止现在，人们对于质数研究，得出了很多基本结论，但也留下了许多未解之谜。

如：素（质）数有无数多个。

任何大于2的合数均可写成素数之积。

能否找一个式子f（n）（n∈N），使其值均是素数？

一个大的偶数，均可写成两个素数之和吗？

关于素数的研究，形成一门学科，叫《数论》，有兴趣可找专门书去学习。

3.整数集内不定方程

先看两元一次不定方程情况。

（1）.求3x＋5y＝13的整数解

解：∵3x＋5y＝3＋5×2

∴3（x-1）＝5（2-y）

由于x、y为整数，可得：

x-1＝5k且2-y＝3k（k∈Z）

即x＝5k＋1且y＝2-3k（k∈Z）

∴所求解有无数多组，可记为（x，y）＝（5k＋1，2-3k）（k∈Z），如（-9，8），（-4，5），（1，2），（6，-1），（11，-4），（16，-7）都是解。

（2）.求34x 7y＝89的整数解

解：①先试求一解：

x＝1时，7y＝55无解，

x＝2时，7y＝21，y＝3。

∴x＝1且y＝3，记为（x，y）＝（1，3）是一解。

②求所有整数解：

由上知：

34x＋7y＝89＝34×2＋7×3

34（x-2）＝7（3-y）

由整除性知：

x-2＝7k且3-y＝34k（k∈Z）

x＝7k＋2且y＝3-34k（k∈Z）

∴其所有解为：

（x，y）＝（7k＋2，3-34k）（k∈Z）。

（3）.求解：x＾2＋y＾2＝z＾2（x，y，z∈Z）。即求所谓的勾股数：找三个整数x、y，使其中两个x、y的平方和等于另一个z的平方。

解：∵x＾2＝（z＋y）（z-y）

且x＾2（x的平方），z＋y，z-y都是正整数，

①当z＋y＝x＾2时z-y＝1

可得：z＝y＋1且y＝（x＾2-1）÷2

令x＝2k-1得：y＝2k（k-1），z＝2k（k-1）＋1（k∈Z）。

∴此时有解：（x，y，z）＝（2k-1，2k（k-1），2k（k-1）＋1）。如（-5，12，13），（-3，4，5），（-1，0，1），（1，0，1），（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85）都是匀股数。

②当z＋y＝kx时z-y＝x÷k，

解得：y＝（kx-x÷k）÷2且z＝（kx＋x÷k）÷2

令x＝2kn则：

y＝nk＾2-n，

z＝nk＾2＋n。

∴方程有另外的解：

（x，y，z）＝（2kn，nk＾2-n，nk＾2＋n）（k∈Z，n∈Z）。

如：n＝0时解为（0，0，0），

n＝1时解为（2k，k＾2-1，k＾2＋1），

n＝2时解为（4k，2k＾2-2，2k＾2＋2）

n＝3时解为（6k，3k＾2-3，3k＾2＋3）

k＝o时解为（0，-n，n）

k＝1时解为（2n，0，2n）

k＝2时解为（4n，3n，5n）

k＝3时解为（6n，8n，10n）

k＝4时解为（8n，15n，17n）

由于是求整数解，还有其他情况讨论，得另外形式的解。

综上可知，一次不定方程的整数解求出已经完全解决，而高次不定方程的整数解求出是困难的。

（4）.问题：

方程x＾3＋y＾3＝z＾3（x，y，z均为大于3的整数）有没有解。

4.度量与有理数

有了数，就可以解决生活、生产中的问题，如：长度度量及计算，面积度量及计算，体积度量及计算，重量度量及计算，时间度量及计算等。

人们在度量中，先选一个物体为单位去度量某对象，如果单位选择过小，度量数过大，人们会选用更大的单位去重新度量，如果单位选择过小，不够一个单位或度量数过小不便记读，人们会选用更小的单位去重新度量，总之，让度量得到的数适中，便于人记忆、识别和处理。

比如：

度量房间大小，要测长宽高，要选用米为单位，如一房长10米，宽4.5米，高3.2来。

度量两城市之间距离，选用单位公里（km），如两市距离为429公里（km）。

度量恒星之间的距离，常用光年（即光一年所行驶的距离），如某两恒星间距为8.52光年。

而度量毛发直径，则须用到毫米单位，如某毛发直径为0.01毫米。

当然，不同单位之间是可以换算的。如：

1公里＝2里＝1000米，

1米＝10分米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米，1毫米＝1000微米。

长度度量解决了，面积，体积也自然不在说下。

如：一个边长为1米的正方形面积＝1平方米，它用它作单位，看某平面图形占地面积，如某房间有32平方米。

度量田地面积时，常用亩为单位，1亩＝15平方丈＝666（2／3）平方米。

度量体积时，可取棱长为1米的正方体所占空间大小作为1立方米为单位，看其它物体占空间大小。如某人身体有0.8立方米，某房间有3×4×3＝36立方米，某水库贮水量为1.51亿立方米。

如度量某物轻重，人们先制作一金属件规定它为1公斤，然后看其它物体是它的多少倍，就得到这个物体有多少公斤。如某人63公斤，某牛1125公斤。

大件货物常取吨为单位，如某桥梁重2.3万吨，某车运载量为35吨。

要要称量一根头发多重，就需要用毫克或微克为单位了。

我们知道：

1吨＝1000公斤，1公斤＝1000克，1克＝1000毫克。

度量时间，由于人们生活在地球上，便利用地球特点来记录时间长短。如四季一循环，便把四季经历的时间为一年，月亮起落循环出现，便把月亮这种规律的一个循环称为一月，太阳不断起落循环，便将某一个循环叫一天，一天有早晚，便把一天长短分成24等份，一份长短为1小时，把1小时长短又分成60等份，每份长短为1分钟。

这样一来，就可说：某人寿命为70年3月10天20小时5分。某人在校学习时间10个小时，在家学习时间3小间，做家务2.5小时，玩8小时，其余时间睡觉。

某人跑100米用时12.56秒。

某人走路平均速度为4.5公里每小时，某车行驶速度达到145公里每小时，严重超速。人造卫星速度为8.2每秒。

有了度量单位和有理数后，我们要表述我们所遇到的各种现象，就可以简明准确。

如：快，没有速度单位和数，怎么表述？快，很快，飞快，快的不可想象，一晃就不见了，一瞬间，一眨眼，这些形容词区分不了多少快慢，有了速度单位和数就将快慢划分成无数个等级，每个物体都处在某个等级上。

这给人们科学地准确认识世界研究世界，提供了必要的知识工具。

按说有了有理数及运算知识后，人们在生活、生产中的各种实际问题，都基本能得到解决，特别是在人们认识世界不是那么严格，精度不是那么高的前提下。

所以，人们以为有理数，就是所有的数了。这个观点盛行了好长好长时间。

5.有理数的其它运算：乘方与开方。

与相同数的加法可以写成乘法一样，人将相同数的乘法写成了乘方。

如：2×2×2＝2＾3，

5×5×5×5×5×5×5＝5＾7，

10＾100＝100个10之积。

2.305＾7＝7个2.305相乘。

一般地：当a∈Q，n∈N，n＞1时a＾n＝n个a相乘，其中a叫底数，n叫指数，a＾n称为正整数指数幂，读作a的n次方。

特别地规定：a＾1＝a，a≠0时a＾0＝1。

如2＾3＝8，3＾2＝9，5＾3＝125，（-3）＾3＝-27，…

当n∈N，n＞1时0＾n＝0，1＾n＝1。

显然正有理数的正整数次方为正有理数，0的正整数次方为0，负数的正偶数次方为正数，负数的正奇数次方为负数。

边长为x的正方形面积为x＾2，棱长为x的正方体的体积为x＾3。利用这两个结论，可容易求面积和体积。

有了上述自然数幂定义，很容易推出自然数幂运算公式：

a＾m×a＾n＝a＾（m＋n），

a＾m÷a＾n＝a＾（m-n），

（ab）＾n＝a＾n×b＾n，

（a／b）＾n＝a＾n÷b＾n，

（a＾m）＾n＝a＾（mn）。

如：3＾2×3＾3＝3＾（2＋3）＝3＾5二243，

3＾3÷3＾2＝3＾（3-2）＝3＾1＝3，

（2×3）＾2＝2＾2×3＾2＝4×9＝36，

（2／3）＾2＝2＾2÷3＾2＝4／9，

（2＾2）＾3＝2＾（2×3）＝2＾6＝64。

由a＾3÷a＾2＝a＾（3-2）＝a＾1知a＾1＝a的合理性。

由a＾3÷a＾3＝a＾（3-3）＝a＾0知a＾0＝1的合理性。

与加乘逆运算为减除一样，乘方也有逆运算，称为开方。具体含义如下：

∵2＾2＝4，∴底数2称为4的2次方根，也称为4的平方根。

∵（-2）＾2＝4，∴底数-2称为4的2次方根，也称为4的平方根。

可见4的平方根有2个，为±2，它们互为相反数。

∵2＾3＝8，∴2称为8的三次方根，也称为8的立方根。

由运算知8的立方根有且只有一个为2。

∵n∈N且n≥2时0＾n＝0，∴0的平方根，立方根，4次方根，5次方根，10次方根，1000次方根均为0。

一般地，若x＾n＝a，其中n∈N且n≥2，则称x为a的n次方根。

如：64的平方根为±8，立方根为4，6次方根为±2。

1的正偶次方根为±1，正奇次方根为1。

243的5次方根为3。

有了开方运算后，我们就可解下列问题：

面积为4的正方形的边长是什么？是4的正平方根，为2。

体积为64的正方体的棱长是多少？是64的三次方根，为4。

很显然：

正数的正偶次方根有两个，它们互为相反数，0的正偶次方根为0，负数没有正偶次方根。

正数的正奇次方根为一个正数，0的正奇次方根为0，负数的正奇次方根为一个负数。

正数a的正n次方根常用根号√来表示，在√左边弯弯上写上一个小n，√下面写上a即可，读作n次根号a。当n＝2时常省略n，如√2就是2的正平方根，-√3就是3的负平方根。

开方的运算性质此处略。

6.新数的出现

人们以为有了有理数，数的世界就完美了，就可以用有理数来解决自然中的所有问题了。

在这种心满意足的状态下，人们度过了不短时间。

但事情总是向前发展的，一个数学家在数的研究中，发现了一个不可思议的问题。

√2＝二次根号2，它不是一个分数，当然就不是有理数。

证明如下：

设√2＝m／n（m，n∈N，n≥2，m与n互质），则：

m＾2＝2（n＾2），

∵2（n＾2）为一个偶数，且奇数的平方是一个奇数，

∴m＾2中m为一个偶数，设m＝2k（k∈N），代入上式：

（2k）＾2＝2（n＾2），

4（k＾2）＝2（n＾2），

2（k＾2）＝n＾2，

即：n＾2＝2（k＾2），

∵2（k＾2）为一个偶数，且奇数的平方是一个奇数，

∴n＾2中n为一个偶数，设n＝2q（q∈N）。

由上知，m＝2k（k∈N），n＝2q（q∈N），∴m，n均为偶数，它们至少有公约数2。

这与m，n互质相矛盾，∴√2不能写成一个最简分数m／n的形式。

可见√2不是一个分数，当然不是一个有理数。

虽说证明都给出了，但人们不愿意相信这个事实。

有人想从另一个方面去推翻这个事实，就是想化√2为小数，看它是不是一个有限小数或无限循环小数。由于开方手算的艰难，最终不了了之。

有人受前例证明启发，又发现二次根号3，二次根号5，二次根号7，三次根号2，三次根号5，三次根号7，等均不能用分数表示。

初逼无赖，最后一部分人，慢慢承认了它们不是有理数，而是一类新数，就称它们为无理数。

经过研究深入，人们才最终承认并开始研究无理数。

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