环形磁场公式（一轮复习环形磁场）

环形磁场就是磁场约束问题，由r=mv/qB知，速度的大小或者磁感应强度大小效果是等同的，与半径大小也是等同的。

一：一条主线

找圆心，画轨迹，求半径，用关系

二：基本方法

放缩圆，旋转圆，平移圆

三：技巧

“五点六线三角”以及辅助线

四：临界条件

①轨迹圆与磁场边界相切，即速度方向沿磁场边界。

②轨迹圆与磁场边界点擦肩而过。

五：几何关系(勾股定理、余弦定理、正弦定理、三角函数等数学知识)

六：多解性

七：推论

带电粒子在内圆以任意方向发射，要求粒子约束在环内，粒子速度存在临界条件。

θ为入射角，引入轨迹圆作为弦切角，以下称弦切角。

1.径向射入，必定径向射出

沿环半径方向射入，只要第一次被约束在环内，永远被约束在环内。

2.垂直半径射入

若转动方向不明确，有二解(即大小圆之分)

3.非径向射入，非径向射出

从内圆射入磁场，必定向内圆射入，且与当时环半径夹角相等。只要第一次被约束在环内，永远被约束在环内。

若转动方向不明确，有二解，即大小圆之分。

八：任意射入

从环内圆任意点朝任意方向射入，连接发射点和环心，找到弦切角θ。

最大圆半径公式：

θ为速度与环心和入射点连线的夹角(弦切角)。

R为θ角对应的最大圆周半径。

“±”号是转动方向不明确，有两种情况。

九：入射角θ取值范围

θ的取值范围与k的关系。

十：一个粒子和一群粒子

一个粒子的射入方向是确定的，对速度的要求只需要对应轨道半径：

R≤(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)

一群粒子的入射方向是变化的，所有粒子束缚在环内，就是求所有不同θ角的最大圆中的最小圆。

如同物理竞赛，先每个学校竞赛，挑一个成绩最好的同学，这些同学再次竞赛，又挑一个成绩最好的同学。

十一：实例分析

例题：真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。

一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(C)

电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，即最容易出去的不能出去。

根据对称性，粒子从径向射出，必定从径向射入，运用放缩圆方法分析得到，最容易出去的是图中红色轨迹线，只要r=4a/3≤mv/eB即可。

入射角θ=0，代入最大圆半径公式的得，r=4a/3。

例题：如图所示为一磁约束装置的简化示意图，

内半径为a、外半径为3a的环状区域Ⅰ内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。小圆区域Ⅱ中有大量质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内以不同速度向各个方向运动。要使所有粒子都不会穿出区域Ⅰ的外边缘，不计粒子重力及粒子间相互作用，则粒子的最大速度为(D)

有大量粒子以不同速度向各个方向运动，在放缩圆方法基础上，再运用旋转圆方法。

由特殊到一般，先任意画一条轨迹图(如图线①)，然后放大到与圆环磁场相切(图线②)，轨迹③已出磁场，再逆时针旋转图线②，弦越来越短，那么粒子就越容易出去。

旋转到④位置，弦最短，弦最短的地方最容易出去。轨道半径不会超过④的半径就可以限制在环形磁场区域，r=a≤mv/qB。

用最大圆半径公式分析：

求最大速度，就是求每个入射角对应的最大圆中的最小圆。

粒子向各个方向发射，θ∈［0，90°］根据最大圆公式，R=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)，分母要最大，当θ=90°时，R=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)

=8a²/6a 2a=a(取最小值)

例题：科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。某同学为探究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域：

匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为q/m一的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：

（1）粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值VmA；

R≤(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)

θ=90°时，分母最小，分数值最大

R=3R²/4R-2R=3R/2=mv/qB

v=3qRB/2m

（2）粒子源在O时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；

时间最长，圆心角最大，弦切角最大。

由勾股定理r² R²=(2R-r)²得，

r=3R/4，t=127πm/90qB。

（3）粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值Vmp。

r=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)

速度最大，圆最大，有两圆，根据转动方向，取大圆，表达式取减号，且sinθ=k=1/2。

r=3R²/(4R-R)=R

vmP=qBR/m。

,