二次函数中直角三角形的存在问题（二次函数铅垂法与线直角三角形的存在性）

原

题

再

现

如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值；

考

察

知

识

本题考察的知识点是二次函数的待定系数法，包括二次函数的一般式和交点式，用铅垂线法求三角形的面积，两次相似三角形问题，直角三角形的存在性及求直角的三角形有三种解法，即勾股法，斜率法，一线三等角法。

解

题

思

路

（1）待定系数法求二次函数

方法1：一般式

设y=ax2 bx c(a≠0)

A（﹣1，0）,B（4，0）,C（0，4）代入得：

y= - x2 3x 4

方法2：交点式

设y=a（x-x1）（x-x2）(a≠0)

即y=a（x 1）（x-4）(a≠0)

C（0，4）代入得：

y= - x2 3x 4

解

题

思

路

（2）：用铅垂线法求△BCD的面积

S△BCD＝1/2×铅垂线×水平线

S△BCD＝1/2×DE×OB

S△BCD＝2×DE

解

题

思

路

（3）：两次相似与直角三角形存在问题

情况1：如∠CDE=90度

情况2：如∠DCE=90度