纤夫的爱跑步版（纤夫的爱与函数）

"纤夫的爱"与函数

甲：函数是一种什么样的数？

乙：函数不是数，而是两个变量之间的一种对应关系。

甲：变量是什么意思？

乙：变量是指在某个变化过程中可以取不同数值的量。比如，我们人的年龄不仅年年在变，而且每时每刻都在变，所以人的年龄就是变量；汽车在行驶过程中，它的行驶路程时时都在变，行驶时间也时时在变……

甲：原来这就是变量啊，那有没有不变的量呢？

乙：真正不变的量是没有，但相对于变量来说，如果把变化不是很大的量看作是不变的量，那就有不变的量了。比如，汽车在行驶过程中，速度常常是不变的（或者是变化很小），此时速度就是不变的量，称为常量。比如在圆的面积S（平方厘米）与半径R（厘米）的关系是S=лR2中，半径有大有小，可大可小，所以R就是个变量，而不管R的大小如何，圆周率却是始终不变的，所以是常量。面积S随着R的变化而变化，所以S也是变量。在这里，S是因为R的变化而变化，所以R又叫做自变量，S称为因变量。

甲：自变量和因变量原来是这么回事。

乙：是呀，你有没有注意到因变量这个名字起得好？

甲：好在哪？

乙：你听，因变量，顾名思义，因为自变量的变化而变化的变量就是因变量。

甲：的确有意思。那究竟什么是函数呢？

乙：象上述圆的面积S与半径R之间的那种关系的两个变量中S就叫做R的函数。

甲："那种关系"究竟是指哪种关系呢？

乙：设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就叫做x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。

甲：我还是不明白，你能不能举个通俗的例子说明一下。

乙：你知道"纤夫的爱"这首歌吗？

甲：不就是尹湘杰和于文华合唱的 "妹妹坐船头，哥哥岸上走，恩恩爱爱纤绳荡悠悠……"这首歌？

乙：正是。

甲：这和函数有什么关系呢？

乙：你想想这样一幅画面：一个男人拉着一只坐个女人的小船在岸上行走，男人走的速度、路程、方向、路线是不是可以不断变化？他是不是好象是函数中的自变量x？

甲：的确有点象，那女人怎么说？

乙：坐在船上的女人移动的速度、路程、方向、路线是不是只能随岸上男人行走的变化而变化？她和函数中的因变量y有何两样吗？

甲：的确没啥两样，可函数定义中的"对于x在某个范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应"作何解？

乙：你说当纤夫的"他"的速度确定下来后，船上的"她"的速度是不是随之唯一确定？

甲：这点没错。我想问的是函数定义中为什么要规定"x在某个范围内"取值？不能随意取一个值吗？

乙：不能。自变量的取值有时可以随意取一个值，有时却不能。好比纤夫在岸上走，他能随意往任何一处走吗？在碰到险滩时，他为了"爱"是不是应该选择某个安全的方向、路线，让船绕过险滩往安全地带拉？

甲：那当然了。可函数也会遇到"危险地带"吗？

乙：会的。你看在y=6/x中，x如果等于0，就没有意义，这里的"0"就是这个函数自变量x的"危险地带"，此时我们说在这个函数中，自变量x的取值范围是x≠0。