数学里有个孤独的假设存在（方格中藏匿的数学与哲学）

文 Ivy

纯白色的画布上黑色直线纵横交错，规整的高饱和度三原色矩形零星散布在黑线交叉形成的空白中。想必大家对这些“格子图”一定不陌生，它们便是蒙德里安（Piet Mondrian）最为著名的“新造型主义（Neo-plasticism）”风格时期的作品。

Composition in Red, Blue, and Yellow, 1937-42, Mondrian, 图片来自 MoMA

可能你会以为蒙德里安的整个艺术生涯都在画格子，其实不然，像毕加索等很多抽象派画家一样，从小接受艺术熏陶的蒙德里安有着非常扎实的写实基本功。在最初的传统荷兰风景画后，他的中早期作品先后受到了印象主义（Impressionism）、象征主义（Symbolism）、立体主义（Cubism）等影响，逐渐由古典写实转变为现代抽象。最终，在各种因素的共同作用下蒙德里安才发展出他最为知名的新造型主义画风，也就是“格子图”。

Passion Flower, 1908, Mondrian, 图片来自wiki

The Gray Tree, 1911, Mondrian, 图片来自wiki

1914年因一战爆发滞留在荷兰后，蒙德里安获得了静下心来沉淀的时间，他逐渐不再满足于立体主义的追求，而开始思考物理世界的本质以及如何构成宇宙和谐。立体主义在他眼中没能做到抽象上的极致，也就是纯粹的造型表达。蒙德里安的这种思想理念与他生命中非常重要的一个朋友----荷兰数学家和哲学家苏恩梅克尔（M.H.J.Schoenmaekers）不谋而合，并于1916年相识后，得到了更加权威和成熟的共鸣、支撑和启发。

Pier and Ocean 5 (Sea and Starry Sky), 1915, Mondrian, 图片来自MoMA

苏恩梅克尔在1915和1916年写了两篇文章《新世界意象Het nieuwe wereldbeeld》（The New Image of the World）和《造型数学原理Beginselen der Beeldende Wiskunde》（Principles of Plastic Mathematics），其中他将宇宙创造的规律描述为一个数学秩序：“自然，尽管它的变化可能充满活力和反复无常，但从根本上来讲，它总是以绝对的规律的方式运作，即造型的规律性。”他认为生命的本质是通过“造型”和“数学”方式构建的，这种造型不是停留在与物质表面上的相似，而是与自然现实中本质特征相一致。

蒙德里安后来创建的“新造型主义”一词也是从“造型数学”而来，他把“新造型主义”解释为了一种手段：“通过这种手段，自然的丰富多彩就可以压缩为有一定关系的造型表现，艺术也成为一种如同数学一样精确表达宇宙基本特征的直觉手段。”

在苏恩梅克尔的理论下，直线和矩形原理的排他性优势得到了促进。他在造型数学的决定性段落之一中描述：直线运动是延续，而射线运动是上升并展开。线从射线“接收”它的本质，它是被动的；射线“给予”线的存在，它是主动的。线本质上是水平的，射线本质上是垂直的；水平和垂直不以方向为特征，而是以本质为特征。那么矩形和十字架形状则是在消除了所有的反复无常之后，从曲线中抽象出来的水平线和垂直线构成的平衡关系里最稳定、最明确的形象。

Lozenge Composition with Yellow, Black, Blue, Red, and Gray, 1921, Mondrian, 图片来自ARTIC

对于为什么蒙德里安仅使用水平线和垂直线作为他独特的抽象绘画语言，更好理解的不是将它们视为 “直线”，而是作为方向力或向量：一种动态结构因素，而不是稳定的结构组件。

回忆一下数学中使用坐标平面的情况，任何类型的规则线都可以用一个公式表示，该公式描述了一个点沿由“x”（水平轴）和“y”（垂直轴）定义的规则网格中的移动：四十五度角的对角线将表示为x=y，踢上场的足球的抛物线可能是x²=-8y 100。从这个角度来说，蒙德里安将他所要表达的万物视为了坐标平面中的一个点或一条线，进一步的纯粹简化后在数学上就表示为由两个相互作用的力（水平力和垂直力）定义的运动，只剩下x和y。

风格派的元素在艺术中就像是物理中的基本构建块：质子、中子和电子。用一桶这些原子积木，你可以制造宇宙中的任何东西，从氢（一个质子 一个电子）到氧（八个质子 八个电子 八个中子），再到水（两个氢原子 一个氧原子），蛋白质，草履虫，最终甚至是一个人。

苏恩梅克尔提出的 “造型数学（Plastic Mathematics）”，亦可称为“积极神秘主义（Positive Mysticism）”，其实是一种新柏拉图式的哲学思想体系（Neo-Platonic Philosophy），也就是蒙德里安新造型主义理论的先驱。

除去我们从数学角度理解的蒙德里安画作中的直线，哲学意义上蒙德里安也总结出一个方程：垂直=男性=空间=静态=协调；水平=女性=时间=动态=旋律等。他非常重视这些等式以及这两个系列的概念形成一系列“相对矛盾”的事实，在此基础之上他还引申出，可见的现实形象与抽象的本质结构其实也是这样一对“相对矛盾”。

Mondrian Composition II in Red, Blue, and Yellow, 1930, Mondrian, 图片来自wiki

苏恩梅克尔同样将矛盾体系视为他学说中最重要的部分，他在其中也制定了一系列严格平行的方程：空间=具体演变=垂直；时间=具体历史=水平。在这套辩证系统里，这些概念的存在是相对而非对立的，它们是同一现实的不同部分，只有同时存在并且相关时才是真实而有意义的。而在苏恩梅克尔眼中，塑造我们星球的两个基本、完全的相对（概念或因素）是：地球绕太阳运行轨迹的水平线，以及从太阳中心发出的垂直射线。

苏恩梅克尔的哲学体系不仅包含了新造型主义中的线性和空间原则，还包括了某些关于色彩原则的观点。他认为仅有三种主要原色存在，且具有象征意义：黄色象征阳光的四射运动；蓝色象征着苍穹的无限延展；红色则是中性和搭配色，是“黄和蓝晨曦时的细语交谈”。

Broadway Boogie Woogie, 1942-43, Mondrian, 图片来自MoMA

1917年，蒙德里安和凡杜斯堡（Theo.van.Doesburg）以及其他几位荷兰先锋艺术家共同创办了《De Stijl》杂志，这是有史以来第一本致力于抽象艺术的杂志，也是他们后来成立的“荷兰风格派De Stijl（The Style）”名字的来源。

蒙德里安作为风格派的核心人物，在杂志中发表和传播了很多自己的艺术思想，所以苏恩梅克尔的思潮无疑也刺激了风格派原则的构成。如同我们上文所介绍的那样，风格派仅使用直线、矩形、三原色和三非色去构建简洁但充满秩序的作品，他们追求艺术的纯粹抽象与简化，拒绝创作肉眼可见且不断变化的自然现实，致力于探索一种人类共通的乌托邦式的精神和感知。对于风格派的这种艺术目标，蒙德里安更喜欢用“新造型主义”一词来表达。

区别于同时代其他充满个性的艺术流派，“风格派”是“普遍”的，它不仅仅是蒙德里安的个人风格或是某个特定地区或时期的风格。与其说“风格派”是一种绘画形式，不如说它是一套相对客观的使用规范和底层逻辑----能够被广泛应用到绘画、雕塑、设计和建筑等诸多领域中。尽管它在艺术史中昙花一现，但却对整个世界都产生了巨大而久远的影响。

Red and Blue Chair, 1918-23, Gerrit.T.Rietveld, 图片来自wiki

蒙德里安的画作不仅是现代抽象艺术中最伟大的表现形式之一，还是一个有趣数学难题的基础。

蒙德里安拼图谜题是将尺寸为n x n的网格划分为多块整边但不等边的长方形和正方形（即没有任意两个形状相等），取最小和最大的矩形面积之差得出的数值即为得分，这个分数越小越好。

这样抽象表达的陈述可能有点难以理解，但通过具体案例很容易看出。例如，取一个4×4的网格。一种可能的解决方案是将网格划分为3×4和1×4的两个矩形，得分为 8。而还有另一种方法是将网格划分为4个矩形，可以将得分降低到4。

自从蒙德里安谜题提出以来，数学家们一直在尝试寻找一种通用方法或算法来为无限可能的情况提供解决方案。虽然至今还没有实现，但它在空间或包装的分配和优化等领域将是一个非常得力的实用工具。

蒙德里安拼图谜题, 图片来自wiki

Reference:

H.L.C. Jaffé, De Stijl 1917-1931. The Dutch Contribution to Modern Art. J.M. Meulenhoff, Amsterdam 1956

https://www.the-art-world.com/history/de-stijl3.htm

http://blog.flametreepublishing.com/art-of-fine-gifts/bid/77772/Mondrain-His-Later-Years-Masterpieces-of-Art

https://www.typotheque.com/articles/de_stijl_new_media_and_the_lessons_of_geometry

https://www.theartstory.org/movement/de-stijl/history-and-concepts/

http://www.360doc.com/content/12/1108/19/4690382_246663078.shtml

https://www.bbvaopenmind.com/en/science/mathematics/the-mathematical-problem-of-mondrians-paintings/

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