数与代数的内涵（数与代数之等于）

一．概念描述

现代数学：在《数学辞海》中没有关于“等于”的定义，只有“等号”的定义。

等号( equal sign)是关系符号之一，指表示两个数、两个式子或数与式相等的符号，记为“=”，读作“等于”，例如2 3=5，2x=3，a b=c等。以符号“=”做等号是雷科德于1557年在《砺智石》中第一次使用的，他对用一对等长的平行线段作为等号是这样解释的：“再也没有别的两件东西比它们更相等了”，但等号使用的推广却很缓慢。17世纪后，经莱布尼茨的推广，才为人们广泛使用。

小学数学：“等于”是表示两部分对等的式子。无论从关系上还是从结果上，都存在相等的关系，“等于”的关系贯穿小学阶段的数学教学内容，具体可分为以下几类。

①数与数的对等：在一年级上学期入学不久，学生通过数的比较大小，第一次接触了数与数的对等，如3=3就是表示两个数相等的式子。而后在加法中初步认识了一道算式的结果等于另一个数，如1 2=3。

②数量与数量的对等：在一年级时对人民币的认识中，学生首次接触了数量与数量的对等，如1元=10角就是数和单位量词的结合体，它们之间存在着相等的关系。小学阶段学习的数量之间对等的类型较多，包括长度单位、面积单位、体积（容积）单位、质量单位、时间单位等。

③关于式与式的对等：所谓式与式的对等，就是表示一定意义的两个式子之间存在着对等的关系。在小学高年级阶段，随着学生认知水平的提高与知识面的拓宽，会接触到如数量关系式、方程、运算定律等表示相等的式子。

二．概念解读

等号的意义可以分为两大方面，一是表示“运算的结果”，二是表示“等价关系”。

在数学学习过程中，学生对于等号的理解存在着过度简单化，形式化的理解误区。比如，在四则运算中，有相当数量的学生认为“=”表示的只是“得到”的含义，而对“=”蕴含的算式步步恒等的观念相当薄弱。这直接导致了1 12= 13 -5=8这类算式书写错误的出现。再比如，学生对“单个数量相等---同样多”理解起来很轻松，但随着年级的升高，“=”所具有的“等价关系”的含义却较难随之拓展和提升。学生在接触“恒等式”和“方程”的初期常常遭遇思维障碍，需要较长的思维过渡期才能适应“=”含义的新变化。

在一项针对二年级学生的测试题中有这样一道题：84-29 O 84-30 1，让学生在0里填“>”、“<”或“=”。学生基本上都是分别算出两边的得数，然后再做比较。由于“84- 29”数目较大，又是退位减法，因此不少学生在计算时出现错误，因而不能正确填出符号。只有极少数学生没有用计算的方法，而是根据两边算式的关系直接填出符号的。从对学生的访谈中我们了解到，很多学生拿到题后，根本就没去想两边的算式有什么关系，而是马上就开始算。还有的学生虽然发现了两边的关系，并且得出了结论，但却总不放心，最后还是再算一遍心里才踏实。

学生为什么会出现这样的现象呢，究其原因恐怕和学生一直以来都在接受着算术思维这种思维方式有关。他们认为，列出的算式就要算出确定的结果，而很少有人从关系性思维的角度去思考和分析。

三．教学建议

(1)在开始教学“=”的时候，就引导学生从两方面理解“=”的意义

为了引导学生更好地理解等价关系，为代数学习做准备，教师在教学中，尤其是初次接触“=”时，要首先有意识地引导学生从等号的意义人手。如在一年级的比较大小中，对5=5，要引导学生思考“为什么用等号连接？”---因为左边是5，右边也是5，两边都相等，所以用

“=”来表示两边的数量相等。其后在接下来的计算中，针对学生最易理解“=”表示结果，而忽视左右两边相等的关系，教师也要适时进行点拨，如对3 5=8追问“为什么要用等号连接？”---不只是由于3 5的结果是8，还因为左边3 5是8，右边也是8，两边相等所以可以用“=”连接表示。也就是说，要让学生认识到这个等式不只反映了“求和”的具体过程，而且也是一种等量关系，等号表示左右双方的等值性，从而为高年级“=”所具有的等价关系扫清思维障碍。

(2)在低年级计算教学中关注“=”的关系性质，渗透代数思维

长期以来，小学数学教学都是更多地着眼于算术思维的训练。这样做虽然取得了一定的成效，但也容易在学生头脑中形成思维定式，造成学生在学习代数初步知识时出现“断层”。如果我们能够在小学低年级算术教学中从一开始就关注等号的关系性质，那么小学生就可以较早地接触到代数思维，并能够减少他们今后学习代数的困难。比如，在口算25 32这个算式的得数时，比较常规的算法是：25 30=55, 55 2=57，或者是20 30= 50, 5 2=7，50 7= 57。在这里，教师除了讲明算理，沟通各种算法之间的关系外，还可以在板书中用等号连接这两个算式，即25 32= 25 30 2或25 32=(20 30) (5 2)；然后让学生再一次观察等号两边的算式，说一说这两个算式为什么相等。这样不仅进一步巩固了口算的方法，而且也让学生体会到这个等式不只反映了求和的具体过程，也反映了左右两个算式之间的一种等量关系。

四．推荐阅读

(1)《试论算术中的代数思维：准变量表达式》（徐文斌，《学科教育》，2003年第11期）

该文针对目前小学阶段算术与代数之间割裂的现状，试图运用算术中的代数思维即“准变量表达式”来探讨算术教学与代数教学之间的一致性和整体性。

(2)《数学思维与小学数学》（郏毓信，江荔教育出版社，2008）

该书的第三章“代数（算术）思维与几何思维”比较详细地论述了算术与代数思维的基本形式以及几何学习过程中的思维活动，特别是算术思维中由“过程”向“对象”的“凝聚”，对我们的教学很有启发。