高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）

双曲线的定义：

2.双曲线的标准方程

双曲线与椭圆的比较

以F1,F2所在直线为x 轴，线段F1 F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1 （-c,0）,F2 （c,0）设P（x,y）是双曲线上一点，则|(|PF1 |-|PF2 | )|=2a,因为|PF1 |=√(〖(x c)〗^2 y^2 ), |PF_2 |=√(〖(x-c)〗^2 y^2 ),所以√(〖(x c)〗^2 y^2 )-√((x-c)^2 y^2 )=±2a ①

且②与①右边同时取正号或负号，① ②整理得

将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 x^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质

(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为 √2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线

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