三角函数数学笔记（一本独特的数学书）

本文作者：刘瑞祥，[遇见] 这里感谢刘老师的投稿支持！

乌克兰数学家盖尔范德主创的“中学生数学思维丛书”一共五本（中文版《三角函数》《代数》《坐标方法》《函数和图像》已出版，《几何》一册待出版），作为首届沃尔夫奖获得者主创的这套书，有什么独特之处呢？我以为，至少体现在以下几个方面：

一是注重循序渐进。伟大的生理学家、心理学家巴甫洛夫生前最后一份出版物是《给青年们的一封信》，信中他对有志于献身科学的青年们提出了三条希望，其中第一条就是循序渐进。这可能是当时苏联学术的一个传统。比如在这本书里用了三道习题逐渐引导学生自己证明锐角三角形的正弦定理，然后再给出正弦定理和外接圆半径、三角形面积之间的联系。类似的，余弦定理的介绍也是这样。这方面更明显的例子，是书中经常要求学生实际计算一些式子，再推导对应的恒等式或计算值域。

二是注重知识之间的联系。在介绍正弦定理时，该书不仅讲到它和面积公式之间的关系，更讲到了它和“大角对大边”、全等三角形判定定理等内容的关系。类似的例子至少还可以举出三个：（1）万能公式和有理数勾股数组的联系；（2）任何函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和；（3）托勒密定理和加法公式（即和角公式）的关系。而对于后者，书里详细铺垫，竟用了四页以上的篇幅。

三是强调公式的美感。数学家经常提到数学之美。有人认为，只有数学家才能欣赏到数学之美，但显然这本书的作者不这么认为。我觉得该书作者的观点是，对数学之美的了解应该在学习数学知识时就开始。笔者这样说，是因为书里几次用到了“漂亮”这样的词汇。比如在介绍正切函数的和角公式时，就提到这个公式比正弦、余弦的和角公式更漂亮，“因为它只涉及 α 和 β 的正切”。

四是关于量纲的讨论。量纲是每个学数理课程的人都要熟悉的，但一般都是在物理书里介绍。在数学书来介绍量纲，是这本书的又一个特点。自然，作为数学书，对量纲的讨论只好限于“无量纲量”即弧度和三角函数、长度、面积等有限的一些量，但这本书的独特之处在于，介绍了费恩曼利用量纲方法回忆海伦公式的方法。虽然用量纲方法推导公式可能是不够充分和准确的，但仍不失为一种有效的思考方法——谁不喜欢不费力而收获巨大的方法呢？

五是这本书介绍了一些高级课题。有很多学者认为，我国中学教材的缺点之一是内容过于局限于初等数学，对学生造成很多限制。作为世界顶级数学家，作者有意识地提到了诸如解析延拓原理、三角形不变量、循环置换、三角级数、π 的嵌套平方根表示法等话题。这些内容为我们展示了高级数学课题的广阔空间。就我个人的认识而言，以上每个内容都可以写成一本科普书，或者作为一本书的引子。

以上就是我——一个普通的数学爱好者——对这本书的认识。我衷心希望有同学能在读完这本书后获得更多的益处和更深的认识，也希望能看到更多有特色的数学书问世。

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