路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(1)

问题:

从北京(靠近北纬40°、东经120°,以下经纬度均取近似值)飞往南非首都约翰内斯堡(南纬30°、东经30°),有两条航空线可供选择:

甲航空线:从北京沿纬度弧向西飞到土耳其首都安卡拉(北纬40°、东经30°),然后向南飞到目的地;

乙航空线:从北京向南飞到澳大利亚的珀斯(南纬30°、东经120°),然后向西飞到目的地.

请问:哪一条航空线较短(地球视为半径R=6370km的球)?

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(2)

解:把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的A、B、C、D四点(如图),则甲航程为A、C两地间的纬度长⌒AC与C、B两地间的球面距离⌒BC之和,乙航程是A、D两地间的球面距离⌒AD加上D、B两地间的纬度线长⌒DB.

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(3)

设球心为O, O1、O2分别是北纬40°圆与南纬30°圆的圆心,则

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(4)

从而,

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(5)

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(6)

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(7)

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(8)

故甲航程为:

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(9)

乙航程为:

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(10)

由cos40°<cos30°,知S1<S2,,所以甲航空线较短.

路径最短的几何问题(数学模型下的航线较短)(11)

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