中考河南数学压轴题100题（压轴题原创详细解析）

河南中考，

命题人喜欢让直接写出，

所以网页上一般查不到详细解析。

本文，

我将详细、原创分析探究，

保证同学们读后豁然开朗，

保证能够明白为什么这样解，

如何快速寻找突破点。

本文和中考息息相关。

对于即将跨进毕业班的初中学生，

请预习参考。

第（1）问的图以及第（2）问图

正方形ABCD的

边AB可绕

点A逆时针旋转，

旋转角为∠2，

∠2在0°至360°之间变化。

点B旋转后的对应点为F。

连接BF，

过点D作直线BF的垂线，

垂足为点E，连接DF，CE。

（1）如图，当∠2=60°时，

①请判定△DEF的形状；

②连接BD，

试求出BF:CE的值。

（2）当∠2≠90°时，

①第一问中的两个结论还是否成立？

如果成立，

请仅就图2的情形进行证明；

②当以点C,D，E，F

为顶点的四边形是

平行四边形时，

请详细解出BE:FE的值。

全体考生成功！

【解前四点分析】

一 凡遇到判定三角形形状，

外观看着像什么，

就奔着什么方向找条件。

就本题，看着像等腰直角。

往下快速找等腰的要素。

不必在两腰长度相等花心思，

因为本题中有等腰、有等边，

从角的度数容易打开局面。

二 凡遇到让求比值，

先观察是否有平行的因素。

或观察是否为相似三角形的对应边之比。

本题就该考虑证相似。

如何证相似？

等腰直角三角形的边的关系，

就是好资源。

往下，

三边对应成比例、

两角对应相等，

均不要考虑，

只考虑夹角！

三 判定上一问

的结论是否成立，

注意尽量沿袭上一问的的思路，

不宜另辟蹊径。

四 最后一问，

当斗转星移、动态变化至

形成平行四边形时，

注意！

那两个结论，

在题设范围内，是恒成立的！

必须充分利用！

此时，平行四边形这五个字，

是已知条件。

详解：

（1）①：

△DEF为

等腰直角三角形。

理由如下：

∵四边形ABCD是正方形

∴∠2 ∠3=90°

∵旋转角∠2=60°

∴∠3=30°

∵AB旋转至AF

∴AF=AB

∴∠1=(180°-∠3)/2=75°

易知△ABF等边

∴∠4=60°

∴∠5

=180°-∠4-∠1

=45°----①

∵DE⊥BF，

∴∠E=90°--②

由①②知：

△DEF等腰直角。

（1）②：

BF:CE=根号2。

∵△BDC和

△FDE均等腰直角

∴BD:DC=根号2

DF:DE=根号

∴BD:DC=DF:DE

∴BD:DF=DC:DE

∵∠6 ∠8

=∠7 ∠8

=45°

∴∠6=∠7

∴△BDF∽△CDE

∴本题结果根号2。

（2）①：

仍然成立。

理由是：

为了便于表达，

我把旋转角度改为n。

∵∠BAF=n

∴∠1=n-90°

在等腰△BAF中

∠3=(180°-n)/2

在等腰△DAF中

∠AFD

=(180°-∠1)/2

=[180°-(n-90°)]/2

=(270°-n)/2

则∠4

=∠AFD-∠3

=45°

又DE⊥BF

∴△DEF等腰Rt△

在等腰Rt△中

斜边是直角边的

根号2倍，且

锐角均为45°

∴DF:DE=DB:DC

∴DF:DB=DE:DC---①

且∠5=∠6

同加上∠BDE

∴∠FDB=∠EDC---②

由①②得相似

∴对应边

BF和CE比值为根号2。

（2）②：

分情形讨论。

情形1：

当旋转角在

0至90°间变化时

∵四边形DFCE是平行四边形

∴等腰Rt△DFE

与等腰Rt△CEF

全等，

且CE:FE=根号2。

∵BF:CE=根号2，

∴BF:FE=(根号2)的平方，

即BF:FE=2。

∴BE:FE=3。

或者以下证法：

由平行四边形知

DF=CE

而结论BF:CE=根号2恒成立

∴BF=根号2倍的DF

∵等腰直角三角形

DF=根号2倍的FE

∴BF=2FE

∴BF=3FE

如果不愿意

利用那两个结论，

也照样能求解。

∵平行四边形

对角线互相平分

∴点O为DC的中点

BC:OC=2:1

而Rt△BCF与Rt△BOC相似

∴BF:FC=2:1

∵等腰直角三角形FC=FE

∴BF:FE=2:1

∴BE:FE=3:1

情形2：

当旋转角为

180°时

如图，显然有

BE:FE=1

当旋转角在

0°至360°之间

其它范围内变化时

均构不成平行四边形

综上，当以点

C,D，E，F为顶点

的四边形是平行四边形时，

BE:FE的值为3或1。

其实本题，

不难证明，

DF和CE一直

忠贞不渝地保持着

平行关系。

纵观本题，

主要考查学生基本

的判断推理能力和

动态分析能力，

兼顾考查基本计算、

四边形的性质和判定、

相似和全等等知识点，

倡导学生初步掌握

分类讨论的解题思想。

遗憾的是，

未侧重考查数形结合。

瑕不掩瑜，

仍不失为一道压轴综合题。

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教务主任

教务主任，常年担任初高中各门主科的教学。

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