最简单微积分理解（数学分析之实数集理论和不定积分）

根据书的编排，第一册最后一章讲实数集理论，比较枯燥难懂，但是又是前面知识的基石，所以这里只稍微带过，有兴趣的根据提示去学习

第1节，实数集的稠密性：

• 两实数的大小关系的定义与形式构造：通过能唯一表示的无限小数来表示实数并比较大小
• 近似值：包括n位不足近似 和 n位过剩近似
• 近似值的一些性质
• 关于比较两实数大小的定理
• 实数的稠密性定理及推论

第2节，实数集的完备性

• 区间套定理及推论，是关于闭区间列{[an，bn]}
• Heine-Borel有限覆盖定理
• Weierstrass聚点定理
• 实数集完备性基本定理的等价性，一些一些定理是等价的，能相互推出
• 1）确界原理；数列极限的基础
• 2）单调有界定理
• 3）致密性定理
• 4）柯西收敛准则
• 5）区间套定理
• 6）有限覆盖定理
• 7）聚点定理

第3节，讲上极限与下极限的概念

• 极限点：有限极限点 和 无限极限点
• 极限点充要条件定理
• 定理：任何数列均有极限点
• 定理：有界数列只有有限极限点，且必有最大极限点和最小极限点
• 上下极限的义
• 定理：任何数列都有上下极限
• 定理：任何有界数列，下极限≤上极限
• 数列极限lim xn = A 的充要条件 xn的上极限=xn的下极限=A
• 数列的上下极限与上下确界的关系定理
• 有限极限的上下极限的充要条件定理

本篇的重点是不定积分

第1节，讲原函数与不定积分的概念

• 设f(x)在区间I上有定义，若存在I上的函数Φ(x)，使对任意x∈I 有 dΦ(x)=f(x)dx 或 Φ`(x)=f(x)，则称Φ(x)是f(x)在I 上的原函数，f(x)在区间I 上的全体函数称为f(x)在I 上的不定积分，记作 ∫f(x)dx
• 定理：设Φ(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意实常数C ，Φ(x) C也是f(x)在I上的一个原函数，且{Φ(x) C|C∈R}就是f(x)在I上的全部原函数
• 不定积分运算性质-线性性质：设f(x) ,g(x)在I上都有原函数，α，β为两任意实常数，则αf(x) βg(x)在I 上也有原函数 且∫[αf(x) βg(x)]dx =α∫f(x)dx β∫g(x)dx
• 基本积分公式，绝大部分都是高中学过的，在此不表

第2节，不定积分的计算，方法定理只有两三种，看似简单，实质上要多练多做才能掌握各种形式不定积分解答步骤

• 第一换元积分法-凑微分法定理：设u=φ(x)在[a,b]上可导，α≤φ(x)≤β ，x∈[a,b]，并且g(u)在[α，β]存在原函数G(u)，则f(x)=g(φ(x))φ`(x)在[a,b]也存在原函数F(x),且F(x)=G(φ(x)) C ,C是常数
• 第二换元积分法-变量代换法定理：条件太多不详细列出了，这里只列出形式，在满足相关条件下，∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ`(t)dt = [∫g(t)dt] , t=φ^(-1)(x) = G(φ^(-1)(x)) C
• 分部法求不定积分定理：若u(x) ,v(x)都可导且∫u`(x)v(x)dx 存在，则 ∫u(x)v`(x)dx 也存在，且 ∫u(x)v`(x)dx =u(x)v(x) -∫u`(x)v(x)dx 或 ∫udv = uv - ∫vdu

第3节，有理函数的不定积分，前面的三个定理方法能解决大多数初等函数的不定积分，不过还有些不定积分存在，但是无法用初等函数表示，这就是本节讲的有理不定积分

• 有理函数的一般形式：R(x)=P(x)/Q(x)
• 定理：每个真分式 R(x)=P(x)/Q(x) 可以表示成若干部分分式之和。该定理的证明需要另外两个引理的引用
• 任何真分式的不定积分最终可以化为如下两种形式的不定积分：
• 1）∫dx/(x-a)^k = ln |x-a| C ,k=1 ;1/[(1-k)(x-a)^(k-1)] ,k >1
• 2) ∫(Mx N)dx/[(x^2 px q)^k ] ,p^2-4q<0
• 对于形如 ∫dx/(x^2 - a^2) 的形式,套公式使用待定系数法
• 三角函数有理式的不定积分：∫ R(sinx,cosx)dx，通常可使用t=tan(x/2) 这个万能变换去化简求取
• 形如R(x,√(ax^2 bx c))的无理根式的不定积分，通常方法是对根式进行配方，然后用三角变换和万能变换将无理部分变为有理函数来求解。这里 a>0 ,b^2 - 4ac ≠0。事实上，还可以根据欧拉变换来求解，变换过程为令，√(ax^2 bx c)=√ax±t ,若c>0，还可以令 √(ax^2 bx c)=xt ±√c