圆周角经典例题（基本图形分析法）

【分析方法导引】

在有关圆的问题中，如果不考虑有关线段之间的数量关系时，就应想到要应用与圆有关的角的基本图形进行证明。

当几何问题中出现了同一个圆上的四点时，就可以想到应用圆周角的基本图形进行证明。接下来就应分析问题中出现的所要研究和讨论的角是出现在圆内接四边形的内角或外角上，还是出现在同弧所对的圆周角上。若出现在圆内接四边形的内角或外角上，则添圆内接四边形的边而不必连对角线，然后应用对角的互补关系或外角与内对角的等量关系来完成证明。若出现在同弧所对的圆周角上，则添加两条对角线而不必添一组对边，然后应用同弧所对圆周角的等量关系完成分析。

当几何问题中出现了圆的直径和半圆上的一点或者出现了90°的圆周角时，就可想到要应用半圆上的圆周角的基本图形进行分析。如有直径和半圆上的点而没有圆周角时，应将半圆上的点与直径的两端点分别连接；如有90°的圆周角而没有直径时，应联结圆周角的两边与圆的交点，而这条连线必定过圆心，也就必定是圆的直径。接下来就可以应用直角三角形的性质完成分析。

图4-13

分析：本题要证明△PGH是等边三角形，所以可证明这个三角形有两个内角是等于60°。

由条件P、H、G都在⊙O上，或者也就是⊙O是△PGH的外接圆，所以这个三角形的三个内角都是⊙O的圆周角，所以要应用圆周角或圆内接四边形的基本图形的性质进行证明。

由条件G、P、H、E四点共圆（如图4-14），可得∠PGH=∠PEH，于是要证明∠PGH=60°，就是要证∠PEH=60°，而由条件PE∥BA，∠PEH=∠A和已知∠A=60°，这个性质就可以证明。

图4-14

又因为P、H、G、F四点共圆，且A、F、B成一直线，所以∠BFP=∠GHP，这样要证∠GHP=60°，就成为要证∠BFP=60°，而由条件PF∥CA，∠BFP=∠A=60°，这个性质也可以证明，分析也就可以完成。

例 8 如图4-15，已知：⊙O中，A是弧BC的中点，弦AD、AE交BC于F、G，EF、DG的延长线交⊙O于K、H。求证：KH∥BC。

图4-15

分析：本题要证的结论KH∥BC是两条平行线的判定问题，若将KH和BC看作是被AE所截，那就可以证明∠AMK=∠AGB。

由于∠AGB是⊙O的一个圆内角，所以应用圆内角的性质可得∠AGB的度数等于弧AB 弧CE的度数的一半，而已知弧AB=弧AC，所以弧AB 弧CE=弧AC 弧CE=弧AE，于是∠AGB就应等于弧AE所对的圆周角，而这个圆周角图形中尚未出现，所以应将它添出，于是联结ED（如图4-16），可得∠AGB=∠ADE。

图4-16

又因为A、G、E成一直线，出现了∠AGF是四边形GFDE的一个外角，所以由∠AGB=∠ADE，就可得四边形GFDE是圆内接四边形或者也就是G、F、D、E四点共圆。

另一方面，我们要证明相等的另个角，即∠AMK也是⊙O的一个圆内角，所以也有∠AMK的度数应等于弧AK 弧EH的度数的一半，也应等于弧AE的度数的一半，所以问题就成为要证弧AE=弧AH，进一步也就是要证它们所对的圆周角相等，即应证∠AEK=∠ADH，而由我们已经证明的性质G、F、D、E四点共圆，这个性质是可以证明的。

由于本题的条件中出现了A是弧BC的中点，所以也可以直接应用垂径定理的性质来进行分析。而现在图形中尚未出现过弧的中点的直径，所以应先将它添上，也就是联结OA（如图4-17），即可得OA⊥BC。而我们要证明的是KH∥BC，从而也就应证OA⊥KH，这样又可转化为要证弧AK=弧AH，根据前面的讨论，这个性质可以证明，所以分析可以完成。

图4-17

由于本题的条件中出现了A是弧BC的中点，所以也可应用过的中点作切线，也就是弦的平行线的方法进行证明，于是过A作⊙O的切线MN，并联结AC（如图4-18），则由弧AB=弧AC就可得圆周角∠BCA和弦切角∠NAC相等，所以MN∥BC。这样要证KH∥BC也就转化为证KH∥MN，所以也是要证弧AK=弧AH，由于这个性质可以证明，所以也可以完成分析。

图4-18