蒙日圆（说说蒙日圆）

在数学学习中，我们都知道，切线是因圆而产生的，它与圆形有着剪不断的情结，而对于相交且垂直的两条切线，它们交点的轨迹却是美仑美奂的一一蒙日圆，你知道吗？

在学习蒙日圆之前，我们先来认识一下，来自法国的大数学家蒙日(1746-1818)，他曾与拿破仑有过一段不错的交情。拿破仑具有丰富的军事才能的同时，还是非常喜欢数学的，他曾与数学家蒙日结成了忘年之交。

蒙日圆是19世纪法国的数学家加斯帕尔·蒙日发现的，蒙日的《画法几何学》，曾被高斯称赞为"智慧的滋补品"。

什么是蒙日圆呢？

在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴的平方和(差)的几何平方根，这个圆就叫蒙日圆。

常见的三种类型的蒙日圆如下:

①椭圆的蒙日圆

与椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是x^2 y^2=a^2 b^2。

②双曲线的蒙日圆

与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是x^2十y^2=a^2-b^2。

③抛物线的蒙日圆

与抛物线y^2=2px(p>0)相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是x=-p/2(可以看作是无穷大的圆)。

特殊的，圆的蒙日圆是个同心圆，其半径为圆半径的√2倍。

与圆x^2 y^2=r^2的相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是x^2十y^2=2·r^2。即蒙日圆为该圆的同心圆，其半径是圆半径的√2倍。

下面看一下圆的蒙日圆的轨迹方程的证明方法:

已知，点P是圆O:x^2 y^2=r^2外任一点，PA、PB是圆的两条互相垂直的切线，A、B分别为切点，求证，p点的轨迹方程是x^2 y^2=2·r^2。

证明:连OA、OB，OP，由OA=OB=r，LPAO=LPBO(圆的切线的定义)，OP为公用边，所以▽PAO≌▽PBO，故PA=PB。

又由PA垂直PB，知LBPA是直角，即有LBPA十LPAO LPBO=270，故LAOB也是直角。因此四边形PAOB是正四边形，即PA=PB=r，这样由勾股定理，知OP=√(r^2 r^2)=√2·r。

再根据P的任意性，可知P的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆，其轨迹方程为x^2 y^2=2·r^2。

最后，我们重点来看下，椭圆的蒙日圆的证明过程吧，请大家注意，用代数证明法的运算量比较大，但思路清晰易懂，值得推荐。

在判别式=0的化简过程中，一定要细心认真，合并同类项时，注意要抓位K的一次项和二次项，不要混淆。

当然，若有兴趣的话，你还可以仿照此法，来证明双曲线的蒙日圆的轨迹方程的。

下面，欢迎大家来挑战一道数学高考试题吧，看当年学霸的你还能不能继续红旗飘飘！

怎么样，蒙日圆没蒙你吧?好啦，来欣赏一下美图再压压惊吧！

郑重声明:图片来自网络。

,