面积为6465.95的长方形（面积为6465.95的长方形）

面积为60的长方形，长和宽均为整数，则长和宽可能是多少？

已知面积反推长和宽，且长和宽均为整数，我们立刻能够想到可以对面积进行因数对分解[1]：

60=60×1=30×2=20×3=15×4=12×5=10×6；

答：这个长方形可能的长和宽有（60,1）（30,2）（20,3）（15,4）（12,5）（10,6）.

【铺垫2】

面积为600的长方形，长和宽均为整数，则长和宽可能是多少？

同样是已知面积反推长和宽，且长和宽均为整数，所以我们仍然可以用铺垫1中的因数对分解法；

但由于面积600分解出的因数对较多，仅仅依靠因数对枚举费时[2]且缺少验证手段[3]，所以可以考虑先对600进行质因数分解[4]：

600=2^3×3×5^2；

有了标准形式，我们再使用因数个数定理[5]：

d(600)=(3 1)×(1 1)×(2 1)=24；[6]

所以600有24个因数，理论上存在12个因数对，我们可以在“600=2^3×3×5^2”的辅助下尝试枚举[7]——

600=600×1=300×2=200×3=150×4=120×5=100×6=75×8=60×10=50×12=40×15=30×20=25×24；

我们清点一下以上因数对，发现不多不少刚好是12对，于是自信满满地写下答语——

答：这个长方形可能的长和宽有（600,1）（300,2）（200,3）（150,4）（120,5）（100,6）（75,8）（60,10）（50,12）（40,15）（30,20）（25,24）共12组.

【正题】

铺垫到此结束，接下来我们回归正题——

面积为6465.95的长方形，长和宽均为一位小数，则长和宽可能是多少？

现在我们明白了——数论是解析整数的学问，而上题却出现了小数，所以让我们很难想到对其进行质因数分解；

那如何才能将铺垫题中的知识运用在这道题中呢？

我们可以将有小数的题进行扩倍改造：

一个长方形的长扩为原来的10倍，宽也扩为原来的10倍，那么面积应该扩为原来的100倍[8]；

于是我们可以将上题等价转化为——

面积为646595的长方形，长和宽均为整数，则长和宽可能是多少？

646595是一个相当大的数，我们肯定不愿意一上来就对它进行因数对分解，而是应该“遇事不决质因分解”：

注意到646595末尾为5，所以646595=5×129319；

对129319分别除以2、3、5、7、11、13均不能整除[9]，而129319÷17=7607；

对7607分别除以2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83均不能整除，而7607除以89商85余42，第一次出现商小于除数，那么我们可以判定7607为质数[10]；

经过漫长的计算，我终于得到646595分解质因数的标准形式——

646595=5×17×7607；

接着我们计算646595的因数个数——

d(646595)=(1 1)×(1 1)×(1 1)=8；

所以646595有8个因数，理论上存在4个因数对，我们可以在“646595=5×17×7607”的辅助下尝试枚举——

646595=646595×1=129319×5=38035×17=7607×85；

我们清点一下以上因数对，发现不多不少刚好是4对，于是自信满满地写下答语——

且慢！别忘了我们的正题——

面积为6465.95的长方形，长和宽均为一位小数，则长和宽可能是多少？

既然我们是长和宽都扩了10倍来做的题，得到以上四组长和宽之后，只需要将它们全都除以10，就可以得到正题的答案——答：这个长方形可能的长和宽有（64659.5,0.1）（12931.9,0.5）（3803.5,1.7）（760.7,8.5）共4组.参考

1. ^任何非零自然数都可以写出有限对因数相乘的形式，例如24=1×24=2×12=3×8=4×6.
2. ^因数对枚举（N=a×b）通常是将N的其中一个因数b从1开始依次枚举，我们将可能的因数b设为b1,b2,b3,···，当bn为两位数时，b(n)与b(n 1)的差距会很大，越到后期，越要枚举更多次才能找到下一个因数，所以仅仅依靠因数对枚举来找出较大自然数N的所有因数对是相当费时的.
3. ^当枚举的次数较多时，我们需要一个检验的办法，比方说通过某种算法得出某数有88个因数，由于因数两两成对，那么长和宽的组合有44组，接下来再去枚举，心里就有底了.（此处暂时忽略因数个数为奇数的情况，事实上，只有平方数的因数个数才是奇数，那时会出现正方形，我们暂不讨论）
4. ^非零自然数N可写成从小到大排列的若干质数的若干次方依次相乘的形式，且该形式称为分解质因数的标准形式，标准形式是唯一的，例如24分解质因数的标准形式是：24=2^3×3.
5. ^非零自然数N分解质因数得到唯一的标准形式后，根据每种质因数的次数可求出N的因数个数，具体算法是“指数加一再连乘”，例如24=2^3×3^1，24有(3 1)×(1 1)=8个因数，也可写为d(24)=8.
6. ^600的质因数有2、3、5三种，它们的指数分别是3、1、2，特此说明.
7. ^分解质因数的标准形式告诉我们一个非零自然数有哪几种“零件”（质因数），以及每种“零件”的个数（指数），将不同种类的零件的不同个数通过乘法“组装”在一起的过程就是制造其所有因数的过程.
8. ^举例：面积为0.48的长方形长是0.8，宽是0.6，若长、宽均变为原来的10倍也就是长为8、宽为6，那么面积就是8×6=48，此时48是原面积0.48的100倍.
9. ^使用整除特征可以快速判断，具体做法略.
10. ^判定非零自然数N为质数的方法是：用比N小的质数从小到大依次去除N，直到第一次出现商小于除数都未曾整除，则判定N为质数.（具体原理略）

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