直齿圆柱齿轮设计计算公式（渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制）

导读

本文介绍了渐开线直齿圆柱齿轮的基本知识，以及利用creo 绘制齿轮三维模型的详细过程。其中重点介绍了绘制齿轮轮廓线的两种不同方法。

一、基本概念

1、渐开线:当一圆周沿一直线作纯滚动时，此圆周上任一点的轨迹即称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，而该直线则称为发生线。

图1齿轮压力解析图

如图1：AK — 渐开线

rb — 基圆

n-n — 发生线

θK —渐开线AK段的展角

2、渐开线齿轮：用渐开线作为齿廓的齿轮称为渐开线齿轮。渐开线齿轮能保持恒定的传动比。

渐开线齿轮

3、压力角：一对共轭齿廓在一点处啮合时，齿廓在该点处所受正压力的方向(即法线方向)与该点的速度方向所夹的锐角。

根据定义，渐开线上任一点法向压力的方向线（即渐开线在该点的法线KN）和该点速度方向（垂直于OK）之间的夹角即为该点的压力角。

图2 压力角解析图

如图2：αk即为渐开线上K点的压力角。

由图可知：cos（αk） = ON / OK = rb / rk

以上为渐开线上某点的压力角，通常所指的压力角20 度、25度指的是齿轮分度圆与渐开线交点处点的压力角。（此知识点重要，后面介绍会用到）

4、模数：是指相邻两轮齿同侧齿廓间的齿距t与圆周率π的比值，即m = t/π，以毫米为单位。模数是模数制轮齿的一个最基本参数。模数越大，轮齿越高也越厚，如果齿轮的齿数一定，则轮的径向尺寸也越大。

三、渐开线齿轮的绘制

1、绘制前的准备

齿轮的基本参数

通过excel表格来列表，并利用公式来进行自动计算

图3 齿轮各参数解析图

绘制渐开线齿轮的关键是绘制渐开线。

渐开线曲线方程：

rb = db/2

theta = 60*t

x = rb *cos(theta) pi* rb *theta/180*sin(theta)

y = rb *sin(theta) - pi* rb *theta/180*cos(theta)

z = 0

rb — 基圆半径；

theta — 圆周沿直线作纯滚动所转动的角度；

x、 y、 z — 渐开线上任意一点的坐标。

我们对该曲线方程进行分析说明

“theta = 60*t”，t为creo 的基本参数，范围可设定。“60”是用来设置渐开线的长度，我们绘制齿轮时只用到了渐开线的一段，当t设置为0～1时，意味着我们截取了圆周（基圆）沿直线从0转动到60度时该圆周上某一点的轨迹。可自行设置，曲线长度超过齿顶圆即可。

为了便于理解方程，我们通过建立数学模型，理解和推导渐开线曲线方程。如下图：

图4 渐开线曲线方程数学模型

如图：∠AON为 theta（基圆上任意一点转动的角度）

在直角三角形OBN中

ON = rb， OB = rb * cos(theta)， NB = rb * sin(theta)

根据渐开线的定义，KN与基圆相切，KN⊥ON， 所以，∠CNB = ∠NOB = theta

KN = AN的弧长 = pi * rb * theta / 180

在直角三角形NCK中

NC = NK * cos(theta) = pi * rb * theta/180 * cos(theta)

KC = NK * sin(theta) = rb * sin(theta)

由此：

Kx = OB KC = rb * cos(theta) pi * rb * theta/180 * cos(theta)

Ky = NB - NC = rb * sin(theta)- rb * sin(theta)

注意： 式中 pi表示圆周率，实际运用时，在creo方程中可直接使用，在excel 中用函数PI（）来代替。在代入theta的值时，在creo中，输入值为角度值，但利用excel或计算器运算时要注意将三角函数括弧内的角度值转化为弧度值。

至此，渐开线方程推导完毕。

2、利用creo2.0绘制齿轮

打开creo 2.0 绘制草图，四个圆分别为齿根圆、基圆、节圆和齿顶圆，直径分别按齿轮参数excel表中的值进行设定。如图：

3、绘制渐开线曲线

点击菜单栏中 基准 - 曲线 - 来自方程的曲线，如图：

出现功能菜单，如图：

选择笛卡尔坐标系，点击“参考” ，选择坐标系。如图：功能菜单。

点击“方程”，在方程浮动对话框中输入方程，再点击“确定”如图。

至此绘制出一条渐开线曲线，如图：

4、绘制齿根圆圆柱体

点击“草图”，选择 “TOP”基准面（与前面绘制草图为同一基准面），点击“草绘”，

点击“投影”，点选齿根圆线（最小的圆），点击“确定”

点击“模型”-“拉伸”，点选刚刚绘制的草图，拉伸厚度（即齿轮厚度）设定为10，点击“确定”

5、绘制齿轮的轮齿

我们前面已经绘制了一条渐开线曲线，另一条齿廓线分别介绍两种方法。

方法一、在草图中，通过镜像的方法来实现。

方法二、直接利用绘制曲线的方式来实现。

先来介绍方法一

此方法是利用对称的中心线镜像来绘制草图。如图，OM为对称线。

角度MOK1根据齿轮在圆周内均布的特性，很容易得到：∠MOK = 360/z/4。

新建草图，点选草图平面，点击“投影”，分别复制齿根圆、齿顶圆及渐开线曲线，

绘制齿根轮廓与齿根圆的过度圆弧，并将齿廓线补充完整，

绘制中心线OM，标注∠MOK，并将角度值修改为前面计算所得的结果。

选择刚完成的草图，点击镜像，得到轮齿另一侧的齿廓线。

修正完善齿廓线，保存并退出草图。（修正完成无误后，齿廓线所包围的区域变为橘黄色）

点击拉伸，点选齿廓线草图，选择到一面，点选前面已绘制完成的基因圆柱体的面。

点击“完成”，一个轮齿的模型建立完成。如图：

通过阵列即可完成其它各齿。阵列时，选择轴阵列的方式，选择齿根圆圆柱体的轴线，阵列数为齿轮的齿数，选择在360度均布。如图：

补充说明：轮齿端部两侧的倒角可在阵列前先完成，可与轮齿一起完成阵列。

再增加齿轮孔、键槽及各部分倒角等即可完成。（具体步骤省略）如图：

接下来介绍方法二

前面介绍到方法一是在绘制齿廓线草图时，另一侧通过以中心线镜像的方式来实现的。是否可以通过creo中绘制曲线的方法将另一条齿廓线直接绘制出来呢？

我们先来改变坐标系的方向，看看会出现什么结果。

点击模型菜单中“坐标系”，插入坐标系，按以下方式调整坐标系：X，Y与原坐标系方向一致，Z方向与原坐标系方向相反。如图：（蓝色显示为新插入的坐标系）

同样的方法绘制曲线，插入曲线，坐标系选用新插入的坐标系，曲线方程与前面完全一样。完成后的结果，如图：绿色部分即为新插入的曲线。

从图中可以看出新绘制的曲线与原来的曲线完全对称。

我们再试图改变坐标系的角度，看有什么结果。

在模型树中，鼠标右键点选坐标系，再点选“编辑定义”，出现“坐标系”浮动对话框，点击“方向”，点选“添加绕第一个轴的旋转”，输入角度10，如图：

点击“确定“，如图：

从图中可以看出，曲线的起始位置沿逆时针方向发生了偏移。

由此，我们得出结论：通过改变坐标系的方向和角度，可以相应改变曲线的方向和起始点（始终在坐标系的X轴上）的位置。

至此，已经很接近我们想要的结果了，但具体偏移多少才能准确绘制出准确的齿廓线呢？

同样，我们通过建立数学模型进行分析。

图5 齿廓线分析数学模型

如图，A点为原渐开线曲线的起点，B点为新渐开线曲线的起点。A点与B点对称于OM。我们只要分析得到OM的位置即∠MOA即可。

在直角三角形KNO中，

∠KON = 20度，

KN = ON * tan(∠KON) = rb * tan(∠KON)，

由渐开线的定义：AN的弧长 = NK，

可以得到弧AN所对应的角度NOA的值： ∠NOA = KN * 360 / (2 * pi * rb)

由此可以得到:∠KOA = ∠NOA - ∠KON

∠MOA = ∠MOK ∠KOA

= 360/z/4 rb * tan(∠KON) * 360/(2 * pi * rb) - ∠KON

为了计算方便，我们利用excel建立如下计算表格：

重新编辑坐标系，如图，将角度改为12.298，点击确定，即可得到新的渐开线曲线（即轮齿另一侧的齿廓线）。

草图绘制，通过“投影”，再补充、修剪得到完整的齿形截面，拉伸即可得到一个齿的三维模型。

至此，绘制齿廓线的第二种方法介绍完毕。

结语：通过本文学习和实际对照操作，可以进一步熟悉creo的绘图技巧；通过建立数学模型来进行分析，来理解和推导渐开线方程，了解通过改变坐标系来改变曲线的方向和位置；通过excel表，来完成复杂的计算过程，方便参数修改，快速得到新的模型。

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