数学史发展的三个阶段（数学的学习不能脱离数学发展史-读万物皆数和数学简史）

最近我差不多花了两周的时间看完了和数据历史相关的两本书，一本是法国米卡埃尔诺奈写的《万物皆数-从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅》一书，一本书是国内蔡天新的《数学简史》。

两本书籍内容概述

在具体整理读书感受前还是先摘录部分豆瓣上的内容简介。首先还是看下《万物皆数》这本书的简介。

在史前时代，数学是为了实际应用而出现的。数字被用来计算羊群的数量，几何图形被用来测量田地并绘制道路。自那时以来，很多艺术家、创作者、匠人或者单纯的梦想家和好奇者，在无意中踏入了数学的领地。他们是不自觉的数学家，是人类历史上最早的提问者、最早的研究者、最早的头脑风暴践行者。如果想了解数学到底是什么，我们就必须追随他们的脚步，因为一切正是因为他们而起。本书将引领我们穿越回史前时代、四大文明古国、欧洲中世纪与文艺复兴时期，也会带领我们漫步于巴黎卢浮宫与发现宫。作者巧妙运用历史学的方法，构建了无数历史或现今的场景，将数学从亭台楼阁之上带入我们的日常生活，将数学之美化为一篇篇优美的文字，娓娓道来。

而对于《数学简史》这本书，作者本身还是一个诗人和游记作家。在一般人眼中，数学意味着繁难的计算、无尽的逻辑推演，以及如天书般的公式和符号。这些让数学看起来离我们的生活很远，且与文化艺术这类精神生活毫不相干。而《数学简史》的作者蔡天新看来，数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类大脑进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然相互影响，并呈现出某种相同的特性。

《数学简史》是一部另类的“数学简史”，跨越了不同的地域和种族，依次探讨了数学与不同文明之间的关系，并各有侧重。关于古代，包括四大文明古国和希腊、阿拉伯，《数学简史》着力于发现有现代意义的亮点；至于近代文明，则考察了文艺复兴的艺术与几何学、工业革命与微积分、法国大革命与应用数学的关系。对现代数学与现代艺术进行阐述和比较，也是《数学简史》的一大亮点。

数学来自人类对生活和世界的观察，以及对现实事物和问题的思考。简单来说学习数学，研究数学实际就是学习如何通过抽象化，形式化，模型化的方式对世界进行描述。是数学让现实世界和抽象世界，让自然现象和公式模型间建立了联系。

数学的触角几乎遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时。希望读者能通过《数学简史》的阅读，拉近与数学这门抽象学科的心理距离，从中理解各自所学或从事专业与数学的关系，进而反思人类文明的历史进程甚或生活的意义。

以上是两本书的简介内容，在读完这两本书后，自己对两本书都相当推荐，而且可以结合在一起阅读，对于数学发展历史中的关键阶段，为数学做出杰出贡献的人物基本在两本书里面都有提到，可以相互印证。

阅读总结和笔记记录

首先如果要讲数学发展史，那么就一定得讲本身的历史发展，科学文化发展史，而这部分内容两本书都有所涉及，因为数学本身不是孤立存在，而是为社会，为科学发展做贡献。

其次对于两本书基本都是遵循着数学历史发展线条来进行描述，比如万物皆数一书从数字形成，几何产生，定理形成，零和负数的产生，数列形成，虚数，无穷小产生等大的关键数学事件为线索。而数学简史一书则更多的是基于历史发展进程为线索，比如古文明时代，古希腊，中世纪的阿拉伯和波斯，中世纪的中国，从文艺复兴到微积分，现代分析数学的产生等。相对来说数学简史一书的文章逻辑和历史发展脉络会更加清楚。

再次从数学发展史，关键的数学事件，数学人物介绍的全面性上来看，数学简史更加全面和系统，但是到后期一些分析数学方面内容确实一般人要理解起来比较困难。而万物皆数相对来说讲得更加浅显一些，同时在微积分以后的相关数学发展基本也没太多涉及。

看完这两本书还有一个最大的感觉就是数学和物理化学等学科不可分，数学和哲学文化等也不可分，而作为基础学科的数学，要将数学历史讲清楚，没有好的历史基础，文化知识是相对难的事情。而恰好类似这本书的两位作者，都能够看到在写作书籍过程中展现出来的历史文化，艺术底蕴，这也是这两本书真正值得推荐阅读的一个重要原因，也让数学不再是枯燥的数字难以理解，数字可以产生美，类似各种数列；几何图形都可以产生美，类似我们看到的很多著名建筑。

在多年前自己也读过吴军老师的《数学之美》，可以看到数学在为科学发展，为信息技术和互联网发展所做出的重大贡献，但是这本书并不太适合大部分非理工科专业的人员阅读，恰好这次阅读的两本数学历史方面的书更加值得推荐。

数学，最早产生的就是数和计数的产生，古人为了生存和生活的需要，必须进行计数以搞清楚数量，但是一开始的计数却是类别进行的，比如用羊群和树枝进行类别，一只羊对应一条树枝以进行计数，这个是最早期的时候。

而突破这个点的关键就是数学符号的产生，能够将数的概念从实物中抽象出来，进行符号化和抽象化的表达，可以理解为我们古人思维最重要的一次进步。

比如符号9即可以表示9只羊，也可以表达9条树枝，9这个符号不再依附任何实物。

数学不仅仅是数字，也包括了形状，简单来说就是数学实际包括了代数和几何，而几何可以看做是现实世界的形式化或形象化表达，同时在数字和几何形状间形成一个完整的知识体系。让数学能够更好地去解决现实中的问题。

为了进行测量，我们产生了最初的几何学，从最初的长度，到由长度产生形状，由平面形状产生立体的容器，形成了基础的几何学内容。而做为集大成者的古希腊欧几里得几何原本则影响了整个几何发展上千年。

泰勒斯可以理解为数学鼻祖，如今天大家还常说的泰勒斯定理。从泰勒斯到毕达哥拉斯创建的毕达哥拉斯学派，给出了大家熟悉的勾股定理，然后是欧几里得的《几何原本》，阿基米德对球，圆锥和抛物线的研究等。

而中世纪的中国，从三国东吴刘徽的《九章算术注》到南北朝祖冲之对圆周率的计算，再到杨辉和秦九韶，特别是秦九韶写出了《数书九章》，前面超越了《九章算术》，里面最重要的就是正负开方术和大衍术，同时给出了一半高次代数方程的完整解法。

印度和波斯人对数学发展所作出的显著贡献一定不能忽略，阿耶波多是印度最早的数学家，代表作是《阿耶波多》历数书，主要部分是天文表，但是也包含了算数，时间度量，球体等内容。同时也对求解一次不定方程作出贡献。而更加重要的一位则是公元600多年的杰出数学家婆罗摩笈多，其主要贡献是将零作为一个完整数字进行描述，并给出数字0的运算性质，同时将数延伸到负数。

从印度到阿拉伯王朝，必须谈到的就是花剌子密，他可以说是在欧洲中世纪黑暗时期数学停滞不前的时候，全世界最具影响力的数学家和天文学家，其代表作是《代数学》和《印度的计算数》，虽然所讨论的数学问题并不比丢番图和婆罗摩笈多研究复杂，但是其给出了很多代数问题的一般性解法，包括解方程的通用解法等，比如给出一元二次方程的通用代数解法等。

在文艺复兴前期，欧洲最杰出的数学家斐波拉契，代表作是《算经》，大家熟悉的是给出的斐波拉契数列。阿尔贝蒂的透视学，为后续的文艺复兴艺术，绘画，建筑发展均作出了贡献。

在谈微积分前，必须先谈解析几何建立，解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用——尽管微分和积分都可以被定义为两种特殊的极限表达式。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。同时笛卡尔也被称为现代哲学之父，如名言我思故我在。

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。

实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

从近代数学，微积分到数学分析时代

随着笛卡尔坐标系的建立，代数方法更多的是解决几何学问题，包括解方程等，而在19世纪后代数学迎来新的发展和突破，最重要的就是数论，一个关注数的性质和相互关系的分支。

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。

他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n y^n = z^n 没有正整数解。

德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。

数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式等。

高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。高斯有一个很出名的故事：用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1 100，2 99，3 98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。

18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。

数学的深渊

在我多年前谈搭建个人知识体系结构的时候，一个重要的观点就是个人不应该一叶障目，不见泰山。学海无涯，你应该时刻都清楚自己的知识储备，已经在整个完善知识体系结构中所处的位置，并根据你的目标来制定循序渐进的学习和实践路线。

就数学这个大学科来讲，即使对于理工类学生学习到大学高数，线性代数阶段也只能说还在浅水区，而更大一部分人往往只需要懂得日常加减乘除就可以过好一生。但是对于数学这种基础学科知识的深入和专研却必不可少，这也是推动科学技术发展的最核心基础要素。

最后附一张网上找到的数学的深渊图，供大家参考。

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