最大公约数与公约数个数（公约数与最大公约数）

1、公约数

（1）、几个数公有的约数，叫作这几个数的公约数。

例： 1和2是6和8的公约数

1和3是15和18的公约数。

分析：6的约数是1、2、3、6.

8的约数是1、2、4、8

6和8共有的约数是1、2，所以1、2是6和 8的公约数。

15的约数是1、3、5、15

18的约数是1、2、3、6、9、18

它们共有的约数有1、3，所以1、3是15和18的公约数。

求公约数的方法：

求几个数的公约数，先把各个数的所有约数找出来，再找这几个数共有的约数。 （如：上例）

2、最大公约数

（1）、定义：几个数共有的约数，叫作这几个数的公约数；其中最大的一个， 叫作 这几个数的最大公约数。

例：2是6和8的最大公约数

3是15和18的最大公约数。

（2）、找最大公约数的方法：

第一：分解质因数方法：

几个自然数的最大公约数，必须包含这几个自然数一切共有的质因数，因此， 可先把各个自然数分解质因数，再把这几个自然数一切共有的质因数连乘起来，就是 所 以求的最大公约数。

例：求 18 、24、36的最大公约数

因为：18 = 2 × 3 × 3

24 = 2 × 2 × 2 × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3

所以：18、24和36的最大公约数是2×3=6

这种方法的简便写法：（短除法）

18、、24和36的最大公约数是2 ×3=6

把共有的质因数作为除数连续去除几个数，直到这几个数的公约数只有1为止。

然 后把所有的除数连乘起来，就是这几个数的最大公约数。

第二：检验公约数法（试除法）

检验公约数法与分解质因数都可以用短除法，不同的是分解质因数一定要用共

有质 因数去除，而检验公约数法可用共有的约数（不一定是质因数）做除数。

例：求396、792和594的最大公约数

所以396、792和594的最大公约数是：

2 × 9 × 11 = 198

第三：把较小数缩小倍数法

先看几个自然数中较小的数是否是较大数的公约数，如不是则把较小数缩小2倍，看是否是较大数的约数，如仍不是，再缩小3倍去试……直到是较大数的公约数为止。这个数就是这几个自然数的最大公约数。

例：求18、24、36的最大公约数

18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9，9也不是24和36的公约数，再把18缩小3倍是6, 6是24和36的公约数，这个数就是这几个数的最大公约数。

提示：（1）、在两个数中，如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1 。如：3和13是互质数，它们最大公约数是1.

（2）、如果两个数中较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如：25和125,25是125的约数，它们最大公约数是25。

3、判断题

（1）、17和19是互质数，所以它们两个没有最大 公约数（ ）

（2）、两个数的最大公约数一定比这两个数小（ ）

（3）、12和18的公约数是2、3（ ）、最大公约数3（ ）。

（4）、两个互质数最大的是1（ ）

（5）、两个数的共有质因数是2、3、和5，它们的最大公约数是30（ ）。

（6）、你喜欢那种求最大公约数的方法？求下面的最大公约数。

18和27； 13和17； 14和42；

65、78、104； 10、15、20、30

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