八下数学平行四边形及其性质（八年级数学平行四边形的性质学生要学好）

平行四边形是初中数学中的一个重要章节,其涉及概念性质、几何证明等多方面的知识内容。它既是对三角形相关知识的复习与延伸，也是进一步学习其它平面图形的基础。而平行四边形的性质是本章的第一节内容，掌握本节内容的知识要点和学习方法，有利于学习和掌握平行四边形的判定方法，及特殊平行四边的性质和判定，学生学好本节内容非常重要。

要学好本节内容需从以下几方面做起。

一、理解平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

平行四边形ABCD记作▱ABCD。在表示四边形时应注意，以一点为起始点，然后沿顺时针方向或逆时针方向书向都可以，但不能跳点书写

如图:

记作“▱ABCD，它表示两层含义:

①若AB//CD，AD//BC，则四边形ABCD为平行四边形。可用来判断四边形是否为平行四边形

②若已知▱ABCD，则可得AB//CD，AD//BC。可用来说明两直线平行。

二、掌握平行四边形性质定理的证明方法:

利用对角线，把四边形转化为三角形，利用三角形全等证明。(这种把四边形转化为三角形，利用三角形全等证明问题的方法，是平面图形证明中常用的方法，注意收藏噢！)

例:证明:平行四边形的对边相等。

①分析命题:题设平行四边形，结论对边相等

②画出图形。(图形只能画平行四边形，对角线BD是添加的辅助线)

③写出已知和求证。

已知:四边形ABCD为平行四边形，求证AB=CD，AD=BC。

④证明:连结BD(添加对角线，转化为三角形，利用全等三角形证明边相等)

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD//BC，AB//DC

∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC

又∵AC=AC

∴△ABD≌△CDB

∴AD=BC，AB=DC

用此种方法也可证明四边形对角相等。

三、牢记平行四边形的性质。

按照平行四边形由边、角、对角线构成来记。

文字语言表述:

1、边:平行四边形对边平行且相等。

2、角:平行四边形对角相等，邻角互补。

3、对角线:平行四边形对角线互相平分。

几何符号语言表述:

如图:在▱ABCD中，

①AD//BC，AB//DC。 AD=BC，AB=DC。

②∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC。

∠BAD ∠ABC=180°，∠ABC ∠BCD=180°

③OA=OC，OD=OB。

四、掌握应用平行四边形性质解决问题的常见题型

1、证明线段相等。

例1、(2018，淮安)已知:如图，在▱ABCD中，点E，F分别是

AD，BC的中点，求证BE=DF。

证明:∵在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∠A=∠C

又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE=1/2AD，CF=1/2BC

∴AE=CF

∴△ABE≌△CDF(SAS)

∴BE=DF。

例2、(2018，福建)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于E，F。

求证OE=OF。

证明:∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

∴OA=OC，AD//BC

∴∠DAC=∠BCA

∵∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF(SAS)

∴OE=OF

2、证明两线平行。

例:(2018，临安区)已知:如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，求证

(1)∴△ADF≌△CBE。(2)EB//DF。

证明:(1)∵在平行四边形ABCD中

AD=BC，AD//BC

∴∠DAF=∠BCE

又∵AE=CF

∴AE EF=CF EF，即AF=CE

∴△ADF≌△CBE

(2)∵△ADF≌△CBE

∴∠AFD=∠CEB

∴EB//DF。

注意:(1)在平行四边形有关问题中，如果图中已知有平行四边形，则可得到该四边形的对边平行且相等，对角相等。(2)要证四边形中的边或角相等，也经常利用三角形全等来证明。(3)证明一般的两三角形全等，有四种判定方法。①(边边边)，②(边角边)，③(角边角)，④(角角边)。

3、求平行四边形的面积。

平行四边形的面积=底×这个底边上的高。

S▱ABCD=AB×DF=BC×DE

例1已知，▱ABCD的对角线AC的长为10cm，∠CAB=30°，AB的长为6cm，求▱ABCD的面积。

解:过点C作CE丄AB，垂足为E。

∵∠CAB=30°，AC=10

∴CE=1/2AC=1/2×10=5

又∵AB=6

∴S▱ABCD=AB×CE=6×5=30

例2、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC丄AB，AB=2，AC:BD=2:3，求:

(1)AC的长。(2)AOD的面积。

分析:当图中有直角三角形时，注意用勾股定理求线段的长度。

解:∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴OA=1/2AC，OB=1/2BD

∵AC:BD=2:3

∴OA:OB=2:3，设OA长为2x，则OB长为3x

∵AC丄AB

∴△BAO为直角三角形

由勾股定理得:OB²－OA²=AB²，又∵AB=2

∴(3x)²－(2x)²=2²

5x²=4，解得x=±2√5/5

AC=2OA=2×2x=4×2√5/5=8√5/5

(2)S▱ABCD=AB×AC=2×8√5/5=16√5/5

S△AOD=1/4S▱ABCD=1/4×16√5/5=4√5/5

4、求图形中三角形的周长。

例1、(2019，遂宁)如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE丄BD交AD于点E，若▱ABCD的周长为28，求△ABE的周长。

解:∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O

∴OB=OD，又∵OE丄BD

∴BE=DE(线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等)

∴三角形ABE的周长=AE BE AB

=AE DE AB=AD AB

∵▱ABCD的周长为28

∴三角形ABE的周长=AD AB=28÷2=14。

5、求线段的取值范围。

一般根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答。

例1、若平行四边形的一边长为8cm，一条对角线长为6cm，求另一条对角线长的取值范围

解:如图，在▱ABCD中，AD=8cm，AC=6cm。

则AO=1/2AC=1/2×6=3cm

在△AOD中，AD－OA<OD<AD OA

∴8－3<OD<8 3，即5<OD<11

∴10cm<BD<22cm。

注意:当已知平行四边形中有对角线时，常利用①对角线互相平分。②两条对角线相交所分得的四个小三角形面积相等来解决问题。

如果你理解了平行四边形的定义，掌握了平行四边形性质定理的证明方法，牢记了平行四边形的性质，并能运用性质解决实际问题。那么平行四边形的性质一节你就学好了。

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