八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形

八年级上学期，前两章主要讲解了全等三角形和轴对称图形。学完前两章后，当你看到“中点”字眼时，你能想到哪些知识点呢？

倍长中线法是全等三角形中比较常见的添加辅助线的方法，利用该方法可以构造全等三角形，从而得到线段的倍数关系，既可以用在线段长度的求解上，也可以用在证明上面。

例题1：阅读并完成以下填空：

如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB AC＞2AD．

证明：延长AD至E使得DE=AD．连接EC，则AE=2AD．

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD．

在△ABD和△CED中，BD=CD，_____，_____．

∴△ABD≌△CED．

∴AB=EC．

在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC EC_____AE．

而AB=EC，AE=2AD，

∴AB AC＞2AD．

这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：

问题1：如图2，在△ABC中，AC=5，AB=13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．

问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF=AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE=EF．

分析：问题1：延长AD至E使得DE=AD．连接EB．证明△ADC≌△EDB（SAS）．由全等三角形的性质得出AC=BE=5，∠DAC=∠E．根据勾股定理可求出AE=12，则可求出答案；

问题2：延长AD到点G，使DG=DF，连接CG．证明△BDF≌△CDG（SAS）．由全等三角形的性质可得出BF=CG，∠BFD=∠G．得出∠G=∠GAC，∠AFE=∠GAC，则可得出结论．

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键。

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，这个知识点在解题时比较容易忽视。

例题2：如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．

分析：先连接DM、DN，根据直角三角形斜边上的中线的等于斜边的一半，得到DM=DN。那么△DMN为等腰三角形，再根据“三线合一”即可得到结论。

本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形判定与性质及直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键。

等腰三角形，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合。等腰三角形三线合一的前提条件是等腰三角形，然后三线中已知任意一线，可得到另外两线。这里一共有四个条件，只要知道任意两个条件，其它两个都可以证明。

例题3：已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，交AC于E，求证：BE═2AD．

分析：由BD⊥AD且BD平分∠ABC 证得AD=FD，再根据∠FAC ∠AED=90°，∠CBE ∠CEB=90°，进一步求得△AFC≌△BEC，则得AF=BE，从而得到结论．