孪生素数猜想已经被证明出来了吗(给你一个与前人不一样的孪生素数猜想的路径)


(一)。前人之路 。 孪生素数猜想作为最著名的数学难题之一,孪生质数猜想已经困扰了数学家一个多世纪。如果能够解决这一难题,我们把一对彼此相差2的质数叫做孪生质数,比如5和7,17和19等等。孪生质数猜想预测,在所有的自然数或整数中,这样的质数有无数对。在过去十年中,数学家们在这一问题上做出了突破性的进展,但是还远没到解决它的程度。

孪生素数猜想已经被证明出来了吗(给你一个与前人不一样的孪生素数猜想的路径)(1)

哥伦比亚大学的威尔·萨温(Will Sawin)和威斯康辛大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼(Mark Shusterman)给出了一份新证明。他们在一个更小但依然十分重要的数学世界——有限域系统(finite field system)中证明了孪生质数猜想是正确的。在这样的系统下,人们可以只处理少量的数字。

麻雀虽小,五脏俱全。有限域系统仍保留着整数域的许多性质。数学家们尝试在有限域中回答算术学的问题,并期望将这些结果应用到整数中去。“说起来可能有些天真:我们的最终梦想是,如果对有限域的世界理解得足够好,你就能解释整数世界。”梅纳德说。

在有限域系统中,除了证明孪生质数猜想,萨温和舒斯特曼还得到了一个效力更广的结果。他们证明了在短间隔中,孪生质数究竟多久出现一次。这一结果对孪生质数现象可谓是掌握到了极度精确的地步。数学家们做梦都想在普通的数字上得到这样的结论,所以,凡是相关的证明,他们都会找来细细研究,以期得到新思路,新启发。

新型质数

最著名的孪生质数猜想说的是,有无数对彼此相差2的质数。但是一个更加广义的命题预测,质数对的差距可以是任意常数,比如,你可以在自然数中找到无数对像3和7一样相差4的质数,或者像293和307一样相差14的质数。

这个更加广义的命题是法国数学家阿尔方斯·德·波林那克(Alphonse de Polignac) 在1849年提出的。在接下来的160年中,数学家们进展甚微。但是到了2013年,堡垒被攻破了,或者至少出现了显著的裂痕。那年张益唐证明了有无数对间隔不超过7000 0000的孪生质数。在接下来的一年中,其他数学家,包括梅纳德和陶哲轩,显著缩小了这一质数间隔。目前,已经被证明的孪生质数猜想,其间隔已经缩小至246。

但是,孪生质数问题的进展就此停滞了,数学家明白,如果要彻底解决这一问题,他们需要一个全新的思路。而有限域系统就是一个寻找新思路的好地方。

为了构建一个有限域,可以先从自然数中提取一个有限的子集,可以选取头五个(或者任意质数个)数字。我们用表盘(而不是通常使用的数轴)来将这些数字直观地表示出来。

直觉会告诉你,运算沿着顺时针方向进行。在有限域系统中,4 3是多少?我们可以从4开始,沿着表面数三个格子,到达2的位置。减法、乘法和除法的工作原理也是相似的。

图注:有限数字系统。一个有限域含有有限个元素。(通常是质数个)左图展示了5个元素的有限域,右图是在此有限域中的加法运算过程。

只有一个陷阱。典型的质数概念在有限域系统里似乎讲不通。在有限域中,每个数字都可以被其它数整除。例如,7通常不能被3整除,但在一个有5个元素的有限域中却是可以的。那是因为,在这个有限域中,7和12是同一个数字,它们都降落在钟面上2的位置。所以7除以3等于12除以3,12除以3等于4。

有限域中不存在质数,那么,在有限域中我们用质数多项式来类比整数域中的质数。有限域中的孪生质数猜想讨论的,是像x^2 1这样的数学表达式。

质数多项式是什么?对于一个只包含1,2,3的有限域,这个有限域内的多项式的系数只能从1,2,3中选取。而“质数”多项式就是不能被因式分解的多项式。所以x^2 x 2是质数多项式,因为它不能被分解,但x^2-1不是质数多项式,它是x 1和x-1的乘积。

接下来,你自然会问到孪生质数多项式:一对多项式,它们既是质数多项式,又隔着一个固定的间隙。例如,多项式x^2 x 2是质数多项式,x^2 2x 2也是质数多项式。两者相差多项式x(第一个多项式加x就得到第二个)。

有限域的孪生质数猜想推测,有限域中存在着无数多对孪生质数多项式,它们不一定相距x,可以相距任意间隔。

图注:素数多项式是什么?一个素数多项式只有一个素数因子式——它自己。如上图:x^2 x 2具有素数性质,因为它不能被因式分解;x^2-1不具有素数性质,它是x 1和x-1的乘积。

庖丁解牛

有限域和质数多项式看起来可能太不自然了,人为设计的痕迹明显,在研究一般数字方面用处不大。但它们很像飓风模拟器——一个自给自足的独立宇宙,能够对更广阔世界中的现象提供洞见。

舒斯特曼说:“把整数问题和多项式问题相互转化,这一做法自古就有。虽然转化来转化去,问题可能依然困难,但多项式版本的问题更可解了。”

20世纪40年代,安德烈·威尔(André Weil)将有限域系统中的算术学,准确地应用到了整数域。于是,有限域突然变得声名显赫起来。威尔利用有限域和整数域的这种联系达到了惊人的效果。他证明了数学中最重要的问题——黎曼猜想——的简化版本,即关于有限域中曲线的问题(也被称作几何黎曼猜想)。这一证明,再加上威尔提出的一系列附加猜想——威尔猜想,让人们确信,在数学世界的探索中,有限域是一片景色绮丽的富饶之地。

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(二)。孪生素数公式里的新解。

看一看下面一个有关素数在自然整数数轴上,1,2,3。。。。。。N。的一个排列现象,即:

2, 3, 4, 5, 6, 7。

8, 9, 10,1 1 12, 13 。

14 15,16,17,18, 19。

。。。。。。

这样就变成了一个所有自然整数2,3。4。。。。。。的方阵。就象这样子一直写下去,你就会发现这样一个规律:所有素数都排列在6的倍数的两边。这样就可以得出一个所谓求取素数的公式。即:6N士1。这个所谓的求取素数的公式,我曾在上世纪八九十年代的《我们爱科学》杂志上看到过。被称为求取素数的公式。 如果将其方阵变幻一下,会是个什么样子呢。如果将自然整中的奇数1,3,5,7,。。。。。。按每三个数排列成方阵。 即: 1, 3 , 5, A 7 , 9, 11, A 13, 15, 17, A 19 , 21, 23, A 25, 27, 29, A. 。。。 。。。 从上面的这个方阵中可以看出:(1)。它是上面的所谓素数公式的方陈排列进行了一个简化,变成了一个3N土2的公式。(2)所有3的倍数被排在了中间。 从上面的排列中可以看出:在自然整数中奇数的排列中,所有素数都可以以3N十1,或3N一1,式中求出,而孪生素数可以写成3N士1,或3N干1,的形式。 那么,怎么用方阵式求出素数和孪生素数呢,其实很简单,你只要注意一下,上面的方阵上,3的平方等于9,9以下两边的数没有一个合数,这样就求出了1和3,5和7两对孪生素数,和1,3,5,7,四素数,这样,3的平方9以下所有素数就都求出来了。

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那么,9以上的素数和孪生素数怎么能求出呢,其实很简单,你只需要把3的倍数两边的数分别顺次以每5个数字为一行,列出两个方阵,这样就把5的倍数请到了方阵的中间,这两个方阵就叫做5的方阵,这样就可以把5的平方等于25以下所有的素数和孪生素数求出来了.。如法炮制,可以列出素数7的八个方阵。求出7的平方等干49以下所有的素数和孪生素数了。如此炮制下去。。。。。,就可以列出自然数整数中所含全部素数的方阵,而求出他们所含有的全部素数和孪生素数了。

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这也是一个求取素数的筛法,只需要列出素数的方阵,把素数的倍数请到方阵的中间,就万事大吉了,你说简单吧。尊敬的读者。你试一下,能列出多少个素数的方阵呢,有兴不防一试。

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