研究椭圆的性质（椭圆公设猜想）

作者|尚慧际 （原创头条首发）

本文谨以专著地球子午线剖面触碰的椭圆随机图形作为垂直分布内容，结合人们探索自然和数学内在的规律，猜想椭圆公设图形在“数与形”建模中发挥的作用来科普椭形要素的认识与突破。

作者专著

A. 猜想背景

观测自然

自从伽利略（Galileo）发明望远镜以来，人类使用天文工具观测璀璨繁星看到银河系与仙女系，了解了星系的旋臂环绕星系中心呈现“椭圆”形态做旋转，推测仙女系以300公里/秒的速度穿越数百万光年的距离向银河系靠近，两个星系或将30亿年后发生碰撞。

银河系与仙女系

随着科技的发展和进步，借助NASA的太空哈勃望远镜、中国的500米单口径射电望远镜和大数据计算，对浩瀚深宇进行探索，模拟星系合并、黑洞吸积、粒子喷流的场景，并通过多普勒频移对星系进行分析，获取红移和蓝移现象，认识宇宙的加速膨胀。

自然的接触作用

星体、星系的运行遵循洛希极限大尺度天体物理规律的演化，人类目睹了苏梅克列维9号彗星撞击木星的接触作用；以霍金（Hawking）“黑洞辐射理论”来理解黑洞撕裂恒星形成的吸积与喷流，以及处于星系中心所具备的最大势能将粒子抛向空中的超距作用。

自然的超距作用

物理数学

观测的天文现象符合《古典物理学原理》相对性原理，如伽利略的惯性运动、牛顿力学的加速度运动、达朗贝尔原理的被某种约束限制的质点或质点系运动等。通过“数与形”的数学方法做建模处理，抽象出星体运动的线性轨迹和吸积喷流的平面与垂直形态，凭借线段、直线、圆、直角及“圆锥曲线”原理，建立坐标系对庞大复杂的巨系统来进行计算验证。在坐标系中，5次方以上的方程求解没有固定求根公式，验证又受限于群论的非定量结论。因此，采用微分几何、芬斯勒几何、拓扑几何和概率统计等不同的方法进行协调，以逼近建模的形式来描述虚幻的空间结构。

期待突破

探究逼近建模问题触达了自然哲学和数学源头。从古希腊自然哲学探索世界的“数”本源，到欧洲文艺复兴时期开启的近代天文学革命。人们观测宇宙中普遍存在圆及椭圆的周期运动，哥白尼（Copernicus）《天体运行论》的思想变革修正了托勒密“地心说”而提出“日心说”；第谷（Tycho）通过观测行星运行的视距差修正了托勒密“本轮”模型；开普勒（Kepler）发现了椭圆轨道定律、椭圆面积定律及椭圆调和定律，却都忽略了探索宇宙本源需要设定椭圆元素的基本图形。

天体运行论

追溯古希腊的数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius）大量引用《几何原本》公理化命题开辟了《圆锥曲线论》，提出有关“亏曲线”的几何元素，即椭圆曲线。但，为什么对“亏曲线”图形不进行原始设定？为什么绕开了“庞斯命题”及其“驴桥”逻辑循环证明和“第五公设”证明的问题，而对“垂直与平行”的应用未能给出证明依据？

圆锥曲线论

人们对数学存在着认识上的局限和突破。正如17世纪的笛卡尔（Descartes）所指出的那样：“我也不能相信是因为他们不愿意超越那两个公设，即①两点间可作一直线；②绕给定的中心可作一圆过一给定的点。”笛卡尔也指出：“他们在讨论圆锥截线时，就毫不犹豫地引进了这样的假设：任意给定的圆锥可用给定的平面去截。”

以至于从公元前3世纪到西方近代理性主义兴起时期，在长达两千多年希望超越前述两个公设的历程中，哲学家和智术师簇集一起，在数学领域用数理逻辑的纯粹方法对“第五公设”所做出的努力都没有获得成功，而罗巴切夫斯基（Lobachevsky）与波尔约（Bolyai）在证明“第五公设”中，却大胆地宣称“其不能被证明或否定”，诞生了新的数学分支——非欧几何学，使“第五公设”成为了经典的未解问题。

再次追问：不能完成对“第五公设”的逻辑检验，难道是因为原始命题或原始公设的数目不够？作者与读者从哲学及科学范畴一起去思考……

哲学科学

经历自然哲学到古典哲学的4个时期有：古希腊自然哲学时期、中世纪基督教哲学时期、近代理性主义时期和德国古典哲学时期。

①自然哲学是从自然维度和形而上学维度来探索世界本源。古希腊哲学之父泰勒斯（Thales）的“水”、阿那克西曼德（Anaximander）的“无定”、阿那克西美尼（Anaximenes）的“气”、赫拉克利特（Heracliyus）的“火”、恩培多克洛（Empeddocles）的“四根”、德谟克利特（Demokritos）的“原子”。另外，赫拉克利特提出的“逻各斯”，毕达哥拉斯（Pythagoras）学派提出的“数”，巴门尼德（Parmennides）提出的“存在”。最后，由古希腊三贤苏格拉底（Socrates）、柏拉图（Plato）、亚里士多德（Aristotle）把自然哲学集大成推向巅峰，奠定了物理学及形而上学的形式逻辑和实体实验。

②中世纪基督教哲学时期是谈论上帝存在的黑暗时期。直至文艺复兴时期的到来，宗教哲学开始了改革。

③近代理性主义出现了唯理论和经验论的两大派别，涉及了认识论的话题：人是如何认识世界的，真理性知识是如何确定的。唯理论学派有笛卡尔的“我思故我在”、斯宾诺莎（Spinoza）的“神及自然”、莱布尼茨（Leibniz）的“单子论”。经验论学派有洛克（Locke）的“心灵的白板说”、贝克莱（Berkeley）的“存在即被感知”、休谟（Hume）的“对因果关系的颠覆”。唯理论学派只注重理性推演和逻辑推理，最终走向了独断论。经验论学派只注重经验而不注重逻辑推理，最终导致了怀疑论。两个派别的矛盾发展到极致，违背了初衷，都走向了死胡同。

④德国古典哲学彰显了康德（Kant）提出的“先天综合判断”思想。这一哲学思想扬弃了唯理论和经验论两大理论，更关注于“人”的实践领域道德等问题。“人”是目的而不是手段。康德哲学思想是一种开放的哲学思想，对重新构建“知识共同体”的认识论，延续至今也具有指导意义。

古希腊自然哲学到德国古典哲学的100问

从古希腊的自然哲学发展到德国的古典哲学，丰富的理性思辨使哲学发生了认识论的转向。加之罗素（Russell）给出的判断：“哲学就是我们运用了科学的方法论进行的对可确定性知识领域外的探索”，西方科学树立了科学的三个要素：科学目的、科学精神、科学方法。

数学危机

伟大的康德不仅在哲学领域提出“先天综合判断”的思想引领了认识论的转向，也在极限论、实数论等理论基础上提出了公理化的集合论方案，他试图为第二次数学危机的莱布尼茨和牛顿（Newton）微积分方法来寻找理论根据。不巧的是，罗素在康德的公理化集合论中提出了“理发师悖论”，将数学危机再次推向了新高度。幸好哥德尔（Gdel）提出“不完备性定理”，暂时将布劳威尔的直觉主义、罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义代表三大数学流派的争论拉上了帷幕。

寻迹首次数学危机。早在公元前3世纪，根号2无理数的出现动摇了毕达哥拉斯学派“数”本源的根基，人们固守“天圆地方”的观念，仰视天穹正球体来解决第一次数学危机。欧几里得（Euclid）通过使用无刻度的尺规、无刻度的度量，在数学史上落下了重重一笔，编写《几何原本》建立了空间秩序最久远、最权威的逻辑推理体系，深奥尊崇。遗憾的是，欧氏几何未将椭圆元素所涉及“圆锥曲线”的有关命题纳入《几何原本》，而缺少了弯曲美丽的椭圆图形。

B. 猜想创新点

创新实践

在讨论圆锥曲线时，笛卡尔希望引入一条必要的假设：“即两条或两条以上的线可以一条随一条地移动，并由它们的交点确定出其他曲线。”新时代，作者践行“把作品写在中国大地上”，发表了专著《碰撞泛古陆裂解地月系起源欧几里得“第五公设”》、论文《在欧几里得公理体系中添加椭圆公设》。

椭圆公设独树一帜的理论是凭借欧氏几何学的公理化演绎方法，依托欧氏所设的前4条公设描摹给出椭圆公设，通过《几何原本》第I卷几何基础中的公认命题I.1、命题I.2、命题I.3，运用欧氏的5条公理及无刻度的尺规作图，对椭圆弧线上的任意点到两个焦点的距离之和都等于长轴进行了证明。同时，专著借鉴欧氏几何的公理系统，以椭圆公设为新起点建立了椭圆切线性质一、切线性质二等命题。原创椭圆公设具有“独立性、完备性、相容性” 的特征。

猜想1：欧氏几何为续写“圆锥曲线”预留了想象空间

《几何原本》第VI卷命题VI.3的陈述：如果三角形的一个角的平分线，截对边得到的两条线段的比等于夹这个角的两边的比；如果三角形一边被分成两段的比等于其余两边的比，那么连接分点与顶点的直线平分这一边所对的角。欧几里得给出注释：命题VI.3在《几何原本》中未得以再利用。

命题VI.3的几何图形

引述：

命题VI.3设直线AD平分三角形的顶角BAC，过C作CE使之平行于DA，延长BA，与CE交于E。而边AC、AE已被证明相等，截得等腰三角形CAE和任意三角形BCE。见上图

猜想：

命题VI.3描述三角形ABC的边BC看作椭圆焦距，端点B、C看作椭圆焦点，两边AB、AC及三角形顶点A可看作椭圆弧线上一点A到两焦点的距离之和等于BE，BE看作椭圆定长，其特征与专著建立椭圆定长的线段一致。

平行线CE的中点F与三角形ABC顶点A连接的辅助线AF看作椭圆切线，且AF与三角形顶角平分线AD垂直，其特征与专著建立椭圆切线性质一，完全相同；AF与给定三角形两边所夹的角相等，其特征与专著建立椭圆切线性质二，完全相同。见下图

命题VI.3呈现的椭圆图形

如果三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。那么用三角形BCE的BC的中点θ与CE的中点F连线确定中位线θF，使2倍的θF等于BE；G是BE的中点，GB等于GE。那么通过尺规作图，以线段BC为基础（公设I.1）作延长线WW′（公设I.2），建立W″W″′垂直WW′于θ（公设I.4），以θ为圆心，θF为半径作圆WFW′，交延长线WW′于W、W′（公设I.3），确定椭圆长轴。同理，以B为圆心，BG为半径作圆W″GW″′，交垂线W″W″′于W″、W″′，确定椭圆短轴。

如图呈现出了欧氏设定的公设I.1线段、公设I.2延长直线、公设I.3圆、公设I.4直角以及椭圆公设的椭圆。同时，椭圆的中心、焦距、长轴、短轴、椭圆切线的几何元素，立即跃然在同一平面上。

由此，猜想欧几里得为《几何原本》古老命题的延续留下了伏笔。

猜想2：椭圆公设可以完成“第五公设”的逻辑检验

“第五公设”同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两个直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

常有学者在证明“第五公设”时使用等价命题：①三角形内角和等于两个直角、②相似三角形、③平行公理等。罗巴切夫斯基等人使用普勒菲尔的平行公理“过已知直线外的一点可作两条直线与已知直线平行”，合同欧氏的前4条公设，并运用反证法进行了一系列的推演，得到了无矛盾的结论，最终发展出非欧几何学。但非欧几何学抛弃了“第五公设”的同一平面概念，所引用的平行公理并不是几何学的原始公设。

倘若，把椭圆公设作为原始设定的图形来建立新公理系统，设一条过椭圆中心的弦AB为延长直线L₃，过弦AB两端作切线L₁、L₂，确定L₁、L₂、L₃三条相交的直线，角α是小于直角的锐角，角β是大于直角的钝角，角α、角β之和恰好等于两个直角，就使直线L₁、L₂不相交于P；同理，另一侧不相交于P′。满足普勒菲尔的平行公理。见下图

椭圆公设描述的平行线

另设一条不过椭圆中心的弦AB为延长直线L₃，过弦AB两端作切线L₁、L₂，确定L₁、L₂、L₃三条相交的直线，角α、角β是小于直角的锐角，角α与角β两角之和小于两个直角，就使直线L₁、L₂在这一侧相交于P。满足欧几里得的“第五公设” 。见下图

椭圆公设描述的相交线及任意三角形

针对三角形内角和的证明，在公理化推演“第五公设”的过程中，以两个直角分别减去角α、角β的两个差角之和，恰好是两条切线所夹的角ABP。满足任意三角形ABP内角和等于两个直角的等价命题。

由此，猜想椭圆公设可以完成“第五公设”的逻辑检验。

非欧几何学

从认识论角度再去思考非欧几何学：如果可能，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是由任意给定的圆锥用给定的平面去截，获得了亏曲线、超曲线、齐曲线，使得处于二维平面中的这类图形与非欧几何学能建立密切联系。那么，作者猜想使用欧氏几何学原始设定的一维线段、直线，二维圆、直角以及椭圆公设这样的图形与非欧几何学建立起的因果联系是不冲突的，也是合理的。

欢迎读者关注和讨论。

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