有理数经典题型100例（整式的乘除）

1整 式 的 乘 除，我来为大家讲解一下关于有理数经典题型100例?跟着小编一起来看一看吧!

有理数经典题型100例

1

整 式 的 乘 除

知识点归纳：

回顾：代数式

1、单项式的概念

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

次数如何判断？

如： bca 22 的 系数为 2 ，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0。

单独的数字或字母也称单项式

2、多项式的概念

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

次数如何判断？

二次项、一次项……判断根据？

如： 122  xaba ，项有 2a 、 ab2 、 x、1，二次项为 2a 、 ab2 ，一次项为 x，

常数项为 1，各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

代数式分类总结

2

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如： 122 3223  yxyyxx

按 x的升幂排列： 3223 221 xyxxyy 

按 x的降幂排列： 122 3223  yxyyxx

5、同底数幂的乘法法则

什么是同底数幂？

3

同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，但 和 不是

同底数幂。

nmnm aaa  （ nm, 都是正整数）解释

结论：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如： 532 )()()( bababa 

1．填空：

（1）ma 叫做 a的 m次幂，其中 a叫幂的________，m叫幂的________；

（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为 c，指数为 3，这个数为________；

（3）4)2( 表示________， 42 表示________；

（4）根据乘方的意义，3a ＝________，

4a ＝________，因此43 aa  ＝

)()()( 

2．计算：

（1）  64 aa （2）  5bb

（3）  32 mmm （4）  953 cccc

（5）  pnm aaa （6）  12mtt

（7）  qqn 1 （8） 

  112 pp nnn3．计算：

（1）   23 bb （2）  3)( aa

（3）  32 )()( yy （4）  

43 )()( aa

（5）   24 33 （6）  67 )5()5(

4

（7）  32 )()( qq n （8）  

24 )()( mm

（9）  32 （10）  54 )2()2(

（11）  69 )( bb （12）   )()(

33 aa

4．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？

（1）523 632  ； （2）

633 aaa  ；

（3）nnn yyy 22 ； （4）

22 mmm  ；

（5）422 )()( aaa  ； （6）

1243 aaa  ；

（7）33 4)4(  ； （8）

632 7777  ；

（9）32 nnn  ．

5．选择题：

（1）22 ma 可以写成（ ）．

A．12 ma B．

22 aa m  C．22 aa m  D． 12  maa

（2）下列式子正确的是（ ）．

A． 4334  B．

44 3)3(  C．44 33  D．

34 43 

（3）下列计算正确的是（ ）．

A．44 aaa  B． 844 aaa 

C．444 2aaa  D．

1644 aaa 

6、幂的乘方法则

mnnm aa )( （ nm, 都是正整数）解释

5

结论：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 1025 3)3( 

幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa )()( 

如： 23326 )4()4(4  已知：2 3a  ，32 6b  ，求 3 102 a b 的值；

7、积的乘方法则

nnn baab )( （ n是正整数）解释

结论：

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（ 523 )2 zyx = 51015552535 32)()()2( zyxzyx 

8、同底数幂的除法法则

nmnm aaa  （ nma ,,0 都是正整数，且 )nm  解释

结论：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 3334 )()()( baababab 

1.

2 21( )3ab c

=________,2 3( )na a =_________.

2.5 23 7( ) ( )p q p q         =_________,

2 3( ) 4n n n na b .

3.3 ( ) 2 14( )a a a  .

4.2 3 2 2 2(3 ) ( )a a a  =__________.

6

5.2 2 1( ) ( )n nx y xy  =__________.

6.

100 1001( ) ( 3)3

 =_________,

2 2004 2003{ [ ( 1) ] }   =_____.

7.若 2, 3n nx y  ,则 ( )

nxy =_______,2 3( )nx y =________.

8.若4 3128 8 2n  ,则 n=__________.

（二）、选择题

9.若 a为有理数,则3 2( )a 的值为( )

A.有理数 B.正数 C.零或负数 D.正数或零

10.若3 3( ) 0ab  ,则 a与 b的关系是( )

A.异号 B.同号 C.都不为零 D.关系不确定

11.计算8 2 3 3 2( ) ( ) [( ) ]p p p     的结果是( )

A.-20p B.

20p C.-18p D.

18p

12.4 4x y = ( )

A.16xy

B. 4xy C.16x y

D.2( )2 x y

13.下列命题中,正确的有( )

①3 3( )m n m nx x   ,②m为正奇数时,一定有等式 ( 4) 4

m m   成立,

③等式 ( 2) 2m m  ,无论 m为何值时都不成立

④三个等式:2 3 6 3 2 6 2 3 6( ) , ( ) ,[ ( )]a a a a a a       都不成立( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

14.已知│x│=1,│y│=12 ,则

20 3 3 2( )x x y 的值等于( )

A.-

34 或-

54 B.

34 或

54 C.

34 D.-

54

7

15. 已知55 44 332 , 3 , 4a b c   ,则 a、b、c的大小关系是( )

A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c

16.计算6 20.25 ( 32)  等于( )

A.-

14 B .

14 C.1 D.-1

（三）、解答题

17.计算

(1)4 2 2 4 2 2 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x         ;

(2)

3 1 2 3 1 21( ) (4 )4

n m na b a b    ;

(3)2 1 12 16 8 ( 4 ) 8m m m m      (m为正整数).

18.已知10 5,10 6a b  ,求(1)

2 310 10a b 的值;(2)2 310 a b 的值

8

19.比较1002 与

753 的大小

20.已知3 33, 2m na b  ,求

2 3 3 2 4 2( ) ( )m n m n m na b a b a b     的值

21.若 a=-3,b=25,则1999 1999a b 的末位数是多少?

9、零指数和负指数

10 a

任何不等于零的数的零次方等于 1。

pp

aa

1 （ pa ,0 是正整数）

一个不等于零的数的 p 次方等于这个数的 p次方的倒数。

如：81

)21(2 33 

9

10、科学记数法

如：0.00000721=7.21 610 （第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

11、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：  xyzyx 32 32

12、单项式乘以多项式

单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即 mcmbmacbam  )( ( cbam ,,, 都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如： )(3)32(2 yxyyxx 

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13、多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的

的积相加。

如： )6)(5(2)3)(23(1  xxbaba 、、

14、平方差公式

22))(( bababa 

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项

互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：（a b－1）（a－b 1）= 。计算(2x y-z 5)(2x-y z 5)

15、完全平方公式

222 2)( bababa 

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式

中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的 2倍。

注意：

abbaabbaba 2)(2)( 2222 

abbaba 4)()( 22 

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222 )()]([)( bababa 

222 )()]([)( bababa 

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的 2倍。

如：⑴、试说明不论 x,y取何值，代数式 2 2 6 4 15x y x y    的值总是正数。

⑵、已知2( ) 16, 4,a b ab   求

2 2

3a b

与2( )a b 的值.

16、三项式的完全平方公式

bcacabcbacba 222)( 2222 

17、单项式的除法法则

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有

的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里

含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：    bamba 242 497 

18、多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即： cbamcmmbmmammcmbmam  )(

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方法总结：①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式 余式

例如：已知一个多项式除以多项式 2 4 3a a  所得的商式是 2 1a  ，余式是 2 8a  ，

求这个多项式。

单项式与多项式的乘法复习题

1、若    21 2 1x x ax   的展开式中 2x 项的系数为-2，则 a的值为 。

2、若    2 1x kx  化简后的结果中不含有 x的一次项，则 k的值为 。

3、若M 、 N 分别是关于 x的 7次多项式与 5次多项式，则MN （ ）。A. 一定是 12次多项式 B. 一定是 35次多项式C.一定是不高于 11次的多项式 D.无法确定

4、多项式 2 23 2x kn k  能被 1x  整除，那么 k的值为 。

5、若等式    2 35 5 7x mx x x     成立，则m的值为 。

6、已知 2 0a b  ，求  3 32 4 8a ab a b b    的值。

7、已知 2 1 0m m   ，求 3 22 2014m m  的值。

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8、已知 2 2 1 0x x   ，求 3 22 3 4 2x x x   的值。

9、已知     2 24 6x ay x by x xy y     ，求代数式  3 2a b ab  的值。

10、若    2 23 3x nx x x m    的乘积中不含 2x 和 3x 项，求m和 n的值

怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，1如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相

乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平

方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下

正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母 a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含

义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x 2y－3z）2，若视 x 2y

为公式中的 a，3z 为 b，则就可用（a－b）2=a2－2ab b2来解了。

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（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式

特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化 如（3x 5y）（5y－3x）交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式计算

了．

2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m 7n）（2m－7n）后就可用平方

差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化 如 98×102，992，912等分别变为（100－2）（100 2），（100－1）2，（90 1）

2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m 2n ）（2m－

4n ）变为 2（2m

4n ）（2m－

4n ）后即可用平方差公

式进行计算了．

5、项数变化 如（x 3y 2z）（x－3y 6z）变为（x 3y 4z－2z）（x－3y 4z 2z）后

再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如

计算（a2 1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后

再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2 1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4 1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）

运用．如计算（1－ 221 ）（1－ 23

1 ）（1－ 241 ）…（1－ 29

1 ）（1－ 2101 ），若分别算出各因式的

值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆

用平方差公式，则可巧解本题．