有理数经典题型100例(整式的乘除)

1整 式 的 乘 除,我来为大家讲解一下关于有理数经典题型100例?跟着小编一起来看一看吧!

有理数经典题型100例(整式的乘除)

有理数经典题型100例

1

整 式 的 乘 除

知识点归纳:

回顾:代数式

1、单项式的概念

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数,所有字母指数和叫单项式的次数。

次数如何判断?

如: bca 22 的 系数为 2 ,次数为 4,单独的一个非零数的次数是 0。

单独的数字或字母也称单项式

2、多项式的概念

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

次数如何判断?

二次项、一次项……判断根据?

如: 122  xaba ,项有 2a 、 ab2 、 x、1,二次项为 2a 、 ab2 ,一次项为 x,

常数项为 1,各项次数分别为 2,2,1,0,系数分别为 1,-2,1,1,叫二次四项式。

3、整式:单项式和多项式统称整式。

代数式分类总结

2

注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列:

如: 122 3223  yxyyxx

按 x的升幂排列: 3223 221 xyxxyy 

按 x的降幂排列: 122 3223  yxyyxx

5、同底数幂的乘法法则

什么是同底数幂?

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同底数幂中的底数可以是具体的数字,也可以是单项式或多项式,但 和 不是

同底数幂。

nmnm aaa  ( nm, 都是正整数)解释

结论:

同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如: 532 )()()( bababa 

1.填空:

(1)ma 叫做 a的 m次幂,其中 a叫幂的________,m叫幂的________;

(2)写出一个以幂的形式表示的数,使它的底数为 c,指数为 3,这个数为________;

(3)4)2( 表示________, 42 表示________;

(4)根据乘方的意义,3a =________,

4a =________,因此43 aa  =

)()()( 

2.计算:

(1)  64 aa (2)  5bb

(3)  32 mmm (4)  953 cccc

(5)  pnm aaa (6)  12mtt

(7)  qqn 1 (8) 

  112 pp nnn3.计算:

(1)   23 bb (2)  3)( aa

(3)  32 )()( yy (4)  

43 )()( aa

(5)   24 33 (6)  67 )5()5(

4

(7)  32 )()( qq n (8)  

24 )()( mm

(9)  32 (10)  54 )2()2(

(11)  69 )( bb (12)   )()(

33 aa

4.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?

(1)523 632  ; (2)

633 aaa  ;

(3)nnn yyy 22 ; (4)

22 mmm  ;

(5)422 )()( aaa  ; (6)

1243 aaa  ;

(7)33 4)4(  ; (8)

632 7777  ;

(9)32 nnn  .

5.选择题:

(1)22 ma 可以写成( ).

A.12 ma B.

22 aa m  C.22 aa m  D. 12  maa

(2)下列式子正确的是( ).

A. 4334  B.

44 3)3(  C.44 33  D.

34 43 

(3)下列计算正确的是( ).

A.44 aaa  B. 844 aaa 

C.444 2aaa  D.

1644 aaa 

6、幂的乘方法则

mnnm aa )( ( nm, 都是正整数)解释

5

结论:

幂的乘方,底数不变,指数相乘。如: 1025 3)3( 

幂的乘方法则可以逆用:即 mnnmmn aaa )()( 

如: 23326 )4()4(4  已知:2 3a  ,32 6b  ,求 3 102 a b 的值;

7、积的乘方法则

nnn baab )( ( n是正整数)解释

结论:

积的乘方,等于各因数乘方的积。

如:( 523 )2 zyx = 51015552535 32)()()2( zyxzyx 

8、同底数幂的除法法则

nmnm aaa  ( nma ,,0 都是正整数,且 )nm  解释

结论:

同底数幂相除,底数不变,指数相减。如: 3334 )()()( baababab 

1.

2 21( )3ab c

=________,2 3( )na a =_________.

2.5 23 7( ) ( )p q p q         =_________,

2 3( ) 4n n n na b .

3.3 ( ) 2 14( )a a a  .

4.2 3 2 2 2(3 ) ( )a a a  =__________.

6

5.2 2 1( ) ( )n nx y xy  =__________.

6.

100 1001( ) ( 3)3

 =_________,

2 2004 2003{ [ ( 1) ] }   =_____.

7.若 2, 3n nx y  ,则 ( )

nxy =_______,2 3( )nx y =________.

8.若4 3128 8 2n  ,则 n=__________.

(二)、选择题

9.若 a为有理数,则3 2( )a 的值为( )

A.有理数 B.正数 C.零或负数 D.正数或零

10.若3 3( ) 0ab  ,则 a与 b的关系是( )

A.异号 B.同号 C.都不为零 D.关系不确定

11.计算8 2 3 3 2( ) ( ) [( ) ]p p p     的结果是( )

A.-20p B.

20p C.-18p D.

18p

12.4 4x y = ( )

A.16xy

B. 4xy C.16x y

D.2( )2 x y

13.下列命题中,正确的有( )

①3 3( )m n m nx x   ,②m为正奇数时,一定有等式 ( 4) 4

m m   成立,

③等式 ( 2) 2m m  ,无论 m为何值时都不成立

④三个等式:2 3 6 3 2 6 2 3 6( ) , ( ) ,[ ( )]a a a a a a       都不成立( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

14.已知│x│=1,│y│=12 ,则

20 3 3 2( )x x y 的值等于( )

A.-

34 或-

54 B.

34 或

54 C.

34 D.-

54

7

15. 已知55 44 332 , 3 , 4a b c   ,则 a、b、c的大小关系是( )

A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c

16.计算6 20.25 ( 32)  等于( )

A.-

14 B .

14 C.1 D.-1

(三)、解答题

17.计算

(1)4 2 2 4 2 2 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x         ;

(2)

3 1 2 3 1 21( ) (4 )4

n m na b a b    ;

(3)2 1 12 16 8 ( 4 ) 8m m m m      (m为正整数).

18.已知10 5,10 6a b  ,求(1)

2 310 10a b 的值;(2)2 310 a b 的值

8

19.比较1002 与

753 的大小

20.已知3 33, 2m na b  ,求

2 3 3 2 4 2( ) ( )m n m n m na b a b a b     的值

21.若 a=-3,b=25,则1999 1999a b 的末位数是多少?

9、零指数和负指数

10 a

任何不等于零的数的零次方等于 1。

pp

aa

1 ( pa ,0 是正整数)

一个不等于零的数的 p 次方等于这个数的 p次方的倒数。

如:81

)21(2 33 

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10、科学记数法

如:0.00000721=7.21 610 (第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)

11、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里

含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

注意:

①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。

②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。

③一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。

如:  xyzyx 32 32

12、单项式乘以多项式

单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,

即 mcmbmacbam  )( ( cbam ,,, 都是单项式)

注意:

①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。]

如: )(3)32(2 yxyyxx 

10

13、多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的

的积相加。

如: )6)(5(2)3)(23(1  xxbaba 、、

14、平方差公式

22))(( bababa 

注意平方差公式展开只有两项

公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项

互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如:(a b-1)(a-b 1)= 。计算(2x y-z 5)(2x-y z 5)

15、完全平方公式

222 2)( bababa 

公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式

中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的 2倍。

注意:

abbaabbaba 2)(2)( 2222 

abbaba 4)()( 22 

11

222 )()]([)( bababa 

222 )()]([)( bababa 

完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的 2倍。

如:⑴、试说明不论 x,y取何值,代数式 2 2 6 4 15x y x y    的值总是正数。

⑵、已知2( ) 16, 4,a b ab   求

2 2

3a b

与2( )a b 的值.

16、三项式的完全平方公式

bcacabcbacba 222)( 2222 

17、单项式的除法法则

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有

的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里

含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式

如:    bamba 242 497 

18、多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即: cbamcmmbmmammcmbmam  )(

12

方法总结:①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式 余式

例如:已知一个多项式除以多项式 2 4 3a a  所得的商式是 2 1a  ,余式是 2 8a  ,

求这个多项式。

单项式与多项式的乘法复习题

1、若    21 2 1x x ax   的展开式中 2x 项的系数为-2,则 a的值为 。

2、若    2 1x kx  化简后的结果中不含有 x的一次项,则 k的值为 。

3、若M 、 N 分别是关于 x的 7次多项式与 5次多项式,则MN ( )。A. 一定是 12次多项式 B. 一定是 35次多项式C.一定是不高于 11次的多项式 D.无法确定

4、多项式 2 23 2x kn k  能被 1x  整除,那么 k的值为 。

5、若等式    2 35 5 7x mx x x     成立,则m的值为 。

6、已知 2 0a b  ,求  3 32 4 8a ab a b b    的值。

7、已知 2 1 0m m   ,求 3 22 2014m m  的值。

13

8、已知 2 2 1 0x x   ,求 3 22 3 4 2x x x   的值。

9、已知     2 24 6x ay x by x xy y     ,求代数式  3 2a b ab  的值。

10、若    2 23 3x nx x x m    的乘积中不含 2x 和 3x 项,求m和 n的值

怎样熟练运用公式:

(一)、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提,1如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相

乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平

方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下

正确运用公式.

(二)、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母 a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含

义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x 2y-3z)2,若视 x 2y

为公式中的 a,3z 为 b,则就可用(a-b)2=a2-2ab b2来解了。

14

(三)、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式

特征,合理调整变化,使其满足公式特点.

常见的几种变化是:

1、位置变化 如(3x 5y)(5y-3x)交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式计算

了.

2、符号变化 如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m 7n)(2m-7n)后就可用平方

差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)

3、数字变化 如 98×102,992,912等分别变为(100-2)(100 2),(100-1)2,(90 1)

2后就能够用乘法公式加以解答了.

4、系数变化 如(4m 2n )(2m-

4n )变为 2(2m

4n )(2m-

4n )后即可用平方差公

式进行计算了.

5、项数变化 如(x 3y 2z)(x-3y 6z)变为(x 3y 4z-2z)(x-3y 4z 2z)后

再适当分组就可以用乘法公式来解了.

(四)、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如

计算(a2 1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后

再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2 1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4 1.

对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)

运用.如计算(1- 221 )(1- 23

1 )(1- 241 )…(1- 29

1 )(1- 2101 ),若分别算出各因式的

值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆

用平方差公式,则可巧解本题.

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