对数与对数函数基础知识（对数与对数函数之间不得不说的秘密）

考纲原文

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.

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知识点讲解

一、对数与对数运算

1．对数的概念

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

2．对数的性质

3．对数的运算性质

4．对数的换底公式

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

二、对数函数及其性质

1．对数函数的概念

2．对数函数的图象和性质

一般地，对数函数 的图象与性质如下表所示：

在直线x=1 的右侧，当a>1 时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<1 时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

3．对数函数与指数函数的关系

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考向分析

考向一 对数式的化简与求值

对数运算的一般思路：

（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；

（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

注意：

（2）注意利用等式lg2 lg5=1 .

考向二 对数函数的图象

3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数a>1 和0<a<1 的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

考向三 对数函数性质的应用

对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：

（1）比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；

③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

（2）解对数不等式：

考向四 对数函数的复合函数问题

与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

【名师点睛】

1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．

判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.

2、对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的 ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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