导数经典小题构造函数（导数中构造函数13法之三）

　　我们直接来看一下f(x)与指数函数乘积形式的求导:

对比一下f(x)与幂函数乘积的求导:

注意一下相似之处与不同之处。我们可以发现f(x)与乘积求导结果更简单。　　

　　我们接下来回头来看看例题，我们就有了思路，对这个条件我们构造函数g(x)=,直接求导。对条件的运用，需要对(x-1)的正负进行讨论：

当x>1时,f’(x) f(x)>0,g’(x)>0,g(x)在（1， ∞）上递增；

当x<1时,f’(x) f(x)<0,g’(x)<0,g(x)在（-∞,1）上递减；

条件1应用分析

　　对条件2，直接看起来比较复杂，该怎么运用呢？　　既然我们定义了函数g(x)=,一定要把它用起来。所在等式两边都乘以，那么左边就是g(x).

右边= ,这是什么呢？实际上就是g(2-x)，大家看出来没有。这时又用到“同构”,没看到的同学就需要加强同构的观察力训练了。

条件（2）转化为g(x)=g(2-x),这个等式又联想到什么？对，对称！说明函数g(x)的图像关于直线x=1轴对称。处处考察基本功啊。

条件2的同构转化应用

　　观察选择支，比较f(0)、f(1)、f(2)、(3)、f(4)的大小关系，故对g(x)取值，有：　　g(1)<g(2)=g(0)<g(3)<g(4)　　即:ef(1)<f(2)=f(0)<f(3)<f(4),整理得答案D。

这道题目从条件1的结构特征f’(x) f(x)做一个突破口，构造函数g(x); 再根据g(x)的结构特点对条件2两边乘以，由此同构得到g( x)=g(2-x)。

较好地体现了两点：一是我们要熟悉最常用的构造函数的结构特征，这是所有解法的基础；第二，实际问题中需要通过变形等各种转换方法把条件转化为符合模型条件的形式。这就是数学解题的方法与思维的训练方向。

下面我们一起看看f(x)与商的形式求导：

f(x)与e^x积与商的求导对比

对比很容易看出与积的差别就是加号与减号的区别。回到例题，这道题目首先有条件f(x)>f’(x),变形为：f’(x)-f(x)<0,很容易联想到构造函数：g(x)=,我们对这个是进行求导,所以g(x)在定义域R上单调递减；我们再来看看各个选择支，进行恰当地变形，让它与g(x)同构。由于g(x)在R上单调递减,所以g(-2017)>g(0)>g(2017),得D。

例题2思路

大家现在去做昨天的练习二，就能轻松拿下。

练习1解答

练习二解答

这是配套练习的分析，习惯看视频分析的同学可看同名配套视频：导数中构造函数13法之三