椭圆上顶点与焦点的连线的斜率（椭圆焦点弦中与顶点有关的斜率定值问题）

昨天看到一个解析几何题目，题目是近期福建某地区的模拟题，题目如下：

分析：题目难度不大，第一问要注意对求出的椭圆方程限定x或y的范围，第二问是常规与斜率有关的定值问题，其中涉及了解析几何中的非对称形式，有关非对称形式的处理方法可参考链接：聊聊解析几何中的非对称形式的处理思路，题目很容易得出斜率之比为定值三分之一，过程如下：

由于题目是椭圆焦点弦的形式，解析几何中与焦点弦有关的结论非常多，在求出答案后猜测三分之一倒是谁比谁的形式，根据椭圆方程，猜测为c/b²或者c²/b²或者(a²-b²)/b²或者(a²-c²)/b²的形式，同学们也可以试着猜一下是哪个，下面给出一般性的证明：

其实很容易猜测，c由a,b求出，调整a,b的值会改变椭圆形态，直线过的定点为(c,0)，改变恒过的点肯定会得到不同的值，因此斜率之比应该是a,b,c三者共同决定，另外当直线过左焦点时如有兴趣可以自己试着证一下，这个可以当做焦点弦的一个二级结论，多了解一些总是好的。