如何求隐函数的偏导和全微分（如何用偏导数和全微分做近似计算）

上一篇我们解了一道题目：

这一篇，我们把它搞复杂一点，给指数也增加一个变量。

有同学表示，这回硬算都不行了，3.03次方什么鬼？

这回要用到偏导数和全微分来近似计算了。

考查一下上面的式子，底数和指数上都有变量，那我们先构建基本函数式，并求偏导数：

将常数x=2，y=3分别代入各自的偏导数，得：

那么，用它的全微分近似地求变化值，就得出了所求的值比2^3大多少。

还有个对数，好尴尬！还好我们前面讲多项式展开的时候，正好解过ln2=0.69314，那就四舍五入直接拿来用了，于是：

所以，得：

用计算器校核一下，2.02^3.03≈8.42，误差0.01.

它的几何意义，就是曲面f(x，y)边缘在X轴和Y轴两个方向上的膨胀或收缩。

再举一个有实物意义的例子。有一个圆柱体，受压后变形，半径由30cm增大到30.05cm，高度由100cm减少到99cm，求圆柱体体积变化的近似值。先构建基本函数式，并求偏导数：

取r=30，h=100，Δr=0.05，Δh=-1，得：

即该圆柱受压后，体积约减小了600π立方厘米。