常数e由来（常数e是个什么玩意）

相信每一位高中生都会遇见“e”这个东西，这是个什么玩意？大多数学生都会困惑，并且这种困惑可能会伴随你的高中三年甚至更久。

遥想当初接触“e”的概念，“e是自然对数的底数”，那么什么是自然对数呢？得到的解释是“自然对数是以e为底的对数函数，e是个无理数，约等于2.718281828…”，这算什么定义？“鸡的旁边是鸭，鸭的旁边是鸡”么，用这样的循环定义根本就没有说明e是各什么东西嘛，也难怪我们要糊涂了，更让我们无法理解的是把这样的数作为底数，弄出来的对数居然很“自然”，相信更多的人要崩溃了。

当上数学教师，不想把这样的迷糊传下去，通过查阅资料，上网查询，逐渐明白“e”这个东西是个什么东西了。

首先我们讲一个发生在万恶的旧社会的故事：一位农民向地主恶霸接了1两银子，期限一年，地主将收取100%的利息，这样的话，一年后农民需要偿还地主（1 100%）=2两银子，可是贪婪的地主并不满意这个结果，于是他改为复利计算，也就是恐怖的“利滚利”，把一年期的年利率拆成两个半年期利率，50%，中间计算一期的复利，那么一年后到手里的钱为：（1 50%）×（1 50%），也就是2.25两银子；可是仍然达不到地主的满意，再狠一点，按照季度计算复利，那么就会得到钱为：（1 25%）×（1 25%）×（1 25%）×（1 25%），大约为2.44两银子。再狠一点，按照月计算复利，那么就会得到钱为：（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12）×（1 1/12），大约为2.61两银子。这个时候地主看上农民的姑娘喜儿了，于是打起了如意算盘，如果再分细点，得到的更多，就可以把这个喜儿弄到手了。把这个复利计算过程继续细分下去，按天算，按小时，按分，按秒计算复利，可是地主失望地发现，无论怎么细分下去，最后的获利只能无限地接近某个数，这个数就是e，大约为2.7182818。

也就是说什么是e，e就是增长的极限。

为什么用e来表示这个数，数学史上说法不一，实际上e就是NB的大数学家欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。

为什么欧拉会选择e来表示这个常数，更多的人接受的说法有三个：一是在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；二是e是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么？当然还有第三个是说欧拉之所以选这个字母，是因为这是他自己名字Euler的首字母，不过我对这一猜测不认同，因为欧拉是一个很谦虚很低调的人，总是肯定他人的工作，所以他不可能把这个伟大的发明“据为己有”的。所以选择e来表示这个常数至今仍然是个谜，有兴趣的同学可以研究一下，说不定下一个菲尔兹奖就是你。

有必要提一下的是数学中有一个阶乘的概念，用“n！”表示。理科生比较熟悉，譬如：3！=3×2×1，4！=4×3×2×1。（想起一个笑话，在这里穿插以下，40-32÷2=？ 小学生回答“4!” 文科生：“哈哈，答错了吧。” 理科生：“哟，答得不错啊！”）。于是就会出现一个“伟大”的公式：

这样的话，似乎就可以把e和“自然”联系起来了，尽管只有一毛钱的关系。

另外，e很可能是正规数和合取数，也就是说每个数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的，并且你能够想象出来的任何组合，从e的某一位起都可以找到，当然这只是猜测，有兴趣的同学可以证明一下。

最后说一个关于e的一个很高大上的结论：因为e的本质含义就是增长的极限。借助于这个特点，任意一个大于2的正自然数，请你把它随意分解成若干个数之和，并把这些数乘在一起，问哪种分解方法分出来的数得到的乘积最大。答案就是尽量分成这个数除以e以后得到的份数，并且每份的大小尽量接近，这样的乘积就最大。举个例子整数10。10/e 大约等于3.68，所以应该把10分成4份，而每份又要比较接近，所以可分为2,2,3,3，乘积为36。除此之外，其他的各种分法得到的乘积都超不过这个数。

正是因为e是累计增长极限，所以决定了以e为底的指数函数所代表的增长方式最“自然”，或许这才是被称为自然对数的底数真正的由来。