高考数学最后一道题究竟有多难（高考数学最后两道大题不会做）

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近期知乎上出现一个神贴——高考数学如何拿满分。小编看后觉得这些数学大神们高考取得好成绩真的不是一朝一夕的功夫，所谓拿满分，从广义上来看其实是达到“北清复交”的水平。

大神们分享了很多关于高考数学试卷中那些难度极高的题目是如何通过日常的训练来“轻松”拿到分数的方法，他们来自全国各地，面对着全国各地的高考数学试卷，各地的试卷虽然不尽相同，但基本大同小异，尤其是在最后压轴题的训练方法上。送给接下来的高考生们！

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来源：知乎

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16年理科全国卷149厚着脸皮答一波–––––––––––––––––––––––––––全国卷特点

1.全国卷出题具有一定周期性，关注前些年全国卷出题模式照大多知友选填基本不存在问题。

2.全国卷考察重心在与函数与导数，无论从选填，还是压轴题的设置都可看出。

打Boss

1.选填按全国卷尿性是没有压轴题出现的，所以更多侧重于对仔细程度熟练程度的考察。

2.重点讲讲解答

Boss1解析几何:推荐两本书《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》（各种解几结论，既可以用于大题，又可以用来秒杀选填）《更高更妙的高中数学思想和方法》解几是需要背一定量的结论的，特别是对于存在性问题，求解点问题等，背得一些结论后不至于在多项式中观察或者猜根中迷茫，一定程度上也可以迅速检验所得是否对。

另一方面，背得结论也一定要会熟练地证明。最后，解几最核心的还是计算，有很多竞赛党大神一张高考卷可以秒杀除解几外所有题目，但对于繁琐的计算一般大神们是拒绝的，所以能够保证每天一道有一定计算量的解几是有必要的。

Boss2导数与函数:

同样这其实是大学内容的下放，所以与解几一样，有一定高数背景有很大帮助。

大概需要哪些背景呢？

列举一些，建议买本高数上册自学（ps:高中一般不讲极限所以极限部分可以忽略节约时间，另一方面不可过多时间用在这方面，最好能会初等证明）

洛必达法则（考过几次洛必达背景后全国卷尽量避免了这方面出题但出题是轮回的冷门考点指不定哪次就复活了）（可能有不严谨之处而且考试要到正常方法做不出来才用这种方法，因为可能扣分）

拉格朗日中值定理（同样比较简单的一个定理，考的可能性也不是很大）柯西中值定理（这个定理可以考得很隐含）

e的x次方 sinx cosx lnx的展开式对于一些数列不等式型导数题目放缩有一定帮助，对于求具体值也可用展开式求得近似值貌似14年全国卷就可以用这个求积分式放缩（同样对数列不等式型导数题目有用）

利用二分法估计根（记住三个数ln2=0.693 ln3=1.099 sin1=0.841对二分法估值有很大帮助）求不等式

同样，高考是富有变化的，所以能多练习近两年的各地名校的导数压轴题能对压轴题套路动向有个初步的了解。有底气应对，能有藐视的心态做压轴题很重要。

学累了？做函数操吧

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/刘校长/

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湖北2012年数学148.

先下个结论：各个省市的高考数学，无论难易度，无论文理科，135分的内容考的是素质和习惯，15分考的是天赋、运气和刻苦程度。你要是考135分以下，不要怪父母、怪学校、怪老师、怪老天对你不公，素质和习惯是你自己的，怨不得任何人。

不同卷子的难易，在我看来，取决于最后那15分，前面的135分不存在决定性的难易分异。我讲的这个分数比例区分，是总体的。落实到单份试卷，比例有可能是120:30，那算困难的，比如江苏和湖北卷；也有可能是145:5，那算简单的。

超出这个区间的卷子，统统都是不正常的，高考是选拔考试，但不是精英选拔的考试，要顾及农村、顾及大多数，考得太难，领导是要负责任的；考得太简单，取得不了分异，也是取得不了选拔效果的。

15分是哪15分？选择题最后一题5分，填空题最后一题5分，大题最后两题5分。是的，最后两道大题不可能只有5分，但里面真正有难度的也只有最后一两小问，总计不超过10分，这10分，掌握一点技巧，混一点步骤分还是可能的。

选择题的5分还有四分之一的可能性蒙对，用用排除法，二分之一的可能性也是有的。平时测验，没95%的保证前135分拿到手，不要操心这15分的事，你要解决的是习惯和素质问题，不是智商问题。

几个很好的素质和习惯：第一、拿到卷子先明确15分的位置，也就是每块的最后几题，在题号上划个杠，告诉自己，不求完美，大不了不做了，安心做那135分。

第二、分配时间，把一个半小时分给剩下的135分，把时间写在卷子上。

第三、打草稿，打草稿是非常重要的一环，草稿是过程，答题纸是结果，过程错误，结果一定错误，过程正确，结果错不到哪里去。打草稿，就要像写作业一样工工整整的写，从左上角开始，标好题号，一行行地写，写完一题，打个框框起来，和其它题的草稿进行区分，把重要步骤的结果用圆圈圈起来。

刚开始这么做，你会发现浪费了很多时间，平时课堂测验时间不足，成绩下滑，但不要灰心，你收获的将是非常良好的做题习惯，速度会越来越快，你会越来越自信，坚持一个学期两个学期，你会有质的改变。

第四、题中绝不复查，更不要做一题检查一题。选择题、填空题做完，如果分配的时间还有大量的没有用完，才可以检查，而你刚才做的工整的草稿会使你的检查非常的迅速而高效。

第五、最后如果你还剩下半个多小时，开始对付最后15分。

这些素质和习惯，说起来很容易的，但是做起来就要费一些功夫了。

03

/BrianRWang/

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哈哈哈哈这题我能答。权当为人民服务了。2012年陕西高考数学满分，我当时大概用1个小时就把卷子写完了。本来物理也能考个108（满分110可是一激动把答题卡涂错了，同济变川大。我高中生物不好，语文英语不太稳定，那时候也不是什么太好的学生。）

你们不要说陕西高考数学简单，我非常自信，以我那个时候的战斗力，去湖北，浙江，山东什么的考，我也相信我考到140左右是没问题的。我在川大考任何数学和物理考试常年都是全场第1，2，3个交卷，全场。

好，我说方法。就从如何学数学开始吧。高中数学和大学的微积分线性代数概率统计其实都是可以用时间夯出来的。（当然一些更高级的课程比如数学物理方法不一样）。

你需要做的第一件事就是搞清楚概念。用课本，或者你在你们学校旁边的书店买那种五块钱一本的公式手册。把所有的公式都要记得烂熟，推得烂熟。基本上你要能做到一闭眼公式就在你眼前。

不要跟我说公式难记。以后假如你去学半导体物理，物理化学，电动力学或者信号与系统（很不幸，本人全都学过，至少自学过）之类的bug玩意你才知道什么叫“公式是一筐一筐的。”如果这个都做不到，可以买王金战先生的一些书。里头讲的方法很详细。

其次就是，凡是用功，上一点也做了的学生，90%以上，大抵犯的就是同一个错误。不用买校外的参考书（五三，天利高考卷之类的除外）。实际上很多孩子会陷入题海而不是跳出题海。

大量的时间和资源会被你投资在，你所会的题目中（这并不代表会的题目可以不写，一定要写，我是，总结题型，平时一周总结一次，考前总结一次）。一定要利用好作业参考答案。不会的，做错的题目，用参考答案，反复去学和练把他搞会。实际上这就是一个对你有利的正向博弈，你会的越来越多，不会的越来越少。实际上你在大学应付微积分线性代数普通物理一类的如法炮制也就可以了。

大题的很多题目，三角函数，立体几何，数列，一类的，你很容易就把他做成送分题。记住，写题一定要规范。我字很差，但是我保证，阅卷老师一定能看得清我写的内容，而且看的会舒服。我写数学题的字体是非常大的。

另一个要说的就是总结你们省的高考思路！我本人当年学数学也没花太大功夫，但是我把从02年到12年陕西高考所有考过的题目，做了10遍，我对那些命题人的思路清楚地很。我是从前面的大题开始做（留下压轴题）。压轴题需要一定的运气（那年我准备了一个小时做压轴但是非常幸运，那个压轴题我碰巧一轮复习的时候见过一个极其类似的10分钟就搞定了）。

小题要练。我当时是拿铁一帝国发的那些卷子，别的不做，专门做选择填空。我大概六模以后就没错过数学的选填！错也最多错一个。

以前也有很多朋友邀请我去做讲座。主要是我对高考体制并不支持和喜欢（我非常推崇日本那种以自主招生为主的选拔）。这和我自己的看法和世界观不符。但是方法，就是这一套方法。可能我后面会搞一些类似“机器学习的数学基础”之类的讲座。

就这样了，祝各位成功。

楼主的故事：

其实楼主初中的时候数学并不好。甚至有点差。楼主是在被政教主任（楼主小时候个性相当叛逆）骂了一次，可能很多人都有这种经历，说我数学不好，楼主不知道怎么回事。可能自信心受到了侮辱吧，当时就下定决心无论如何一定要学好数学以后搞个大新闻。

最后，我做到了。相信你其实也可以。我当时还读了一个故事。就是有一个数学家的孩子学不好数学。结果他父亲应该是给他了一套数学玩具让他去思考里面的乐趣。最后这个孩子的名字叫George Dantzig，线性规划的创始人。20世纪伟大的数学家。

我所犯下的错误：

当然关于数学我也办过很多非常作死的事情。比如，我当时所有人，都告诉我我非常适合读一个专业，叫统计。然后所有人，真的是所有人，都相信我有这个能力把它学好。当然，除了一个人，那就是我自己。

我当时认为我可能数学考试很强但未必能应付本科数学的学习。其实现在爆火的大数据机器学习数据挖掘都是CS和统计的杂交品种。某种意义上我的确是选错专业了。这可能是我关于数学作的最大的死。假如当时选择统计或者数学我大概会比现在发展的要好很多。我当时是真的怎么都不相信我能学好本科数学系的课程，怎么都不信。

所以我现在的话，目前做电子材料是可以创新的。但我在统计，CS这种自己其实有很强先天优势的领域，我是一个极其擅长抽象思维的人，也只能做一个好的工程师，而不是一个去开拓新领域的人。我也曾经为此深陷巨大的抑郁和自我怀疑乃至自我否定。也只是最近才慢慢走出这种感觉。（可能有些朋友也能从我的回答里看出这一点）。

我当时报专业的大概顺序是：材料，计算机，数学，工商管理，后面两个实在记不起但应该是商学系列的东西。可能是国际贸易之类的。说实在的我，宁愿本科去读商科 数学甚至是纯商科。当然数学CS统计这种恐怕才是当时最适合我的东西。

我最大的一个教训就是在学生时代不要以科研为目的做学业和职业规划。而且选择以数学，计算机为主导的专业会有很强的优势。

我犯的另一个巨大的错误就是本科期间。为了做实验，没有读计算机的二专。所以，一定不要以科研为导向做职业和学业规划。你一定要知道自己想要什么。

不过我觉得某种意义上，成长就是能够坦然接受曾经失去的东西，并努力为重新获得他们或其他更好的东西而奋斗。作为魔兽联盟玩家瓦王瓦里安一直被我当作一个虚拟的偶像。即使失去了自己的王国，我们也可以用利剑和决心重新获得他。况且我也歪打正着的进入了物理电子学这个有趣的世界。

04

/李翰潼/

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吉林省2010年高考生，本科在北大读化学。当时数学144，因为立体几何画错了辅助线，丢了6分……（哎，都是一个战壕的兄弟，偏和我较那3分2分的真，有意义么！）

数学要拿满分，其实最后不仅拼的是对知识的掌握。很多能力之外的事（比如临考的心态和发挥）都有可能让你拿不到满分。

以下是一些个人经验，供大家参考。

1、 保持解题思维的灵敏性

大家一定都有过这样的经历：出考场的时候自己或者听到周围同学一拍大腿，“啊，我想起来那道题怎么做啦！”可是已经来不及了。所以，高考不仅是考察你知识的掌握水平，更是考察你规定时间内的运用水平。可能你凭经验凭感觉，最终能想通某道题的窍门在哪里，但是只要你没能“及时”想出，那就没有用。这就是我说的解题思维的灵敏性，我把它称作“嗅觉”。

为了一直保持这份 “嗅觉”，我在最后备考的几个月要求自己，每天至少做一套数学卷子。除了查漏补缺以外，最主要的就是保持自己解题思维的灵敏性。另外，在高考考数学之前，好多人都是刚刚午睡，起来还是懵懵的就马不停蹄奔向考场；这样一般都是选择填空快做完了，可能还是感觉状态不在。

所以我在模拟考试和最后高考数学时，都会提前半个小时起床，随便抓起几道题来做一做（不是拿起错题本随便翻翻，其实那时候你都没在真的思考），敦促自己的“数学智商”赶紧上线。

考试前把头脑调整到敏锐的状态，对数学学科来说，是非常重要的。

2、 注重选择填空

很多同学在临考前，最畏惧的都是解析几何之类的终极题；拿着各年各省的真题集刷来刷去，专攻最后一题。然而最后非常有可能发现，失误并不是出现在最后，而是前面的选择填空。

（想象一下，如果你和别人说你没得满分，是因为最后一题没做出来，都可以理解；但如果你说你得了145是因为选择题马虎了一下，不用说别人，自己都有扇死自己的冲动吧……）

最后的大题，有的时候做得出来做不出来需要些运气，但是前面的选择填空，才是检验你综合数学能力的试金石。其实为了保证整张卷子的高分，一般我们都会被要求在45分钟-50分钟内做完选择填空，听起来不难，但是实际上是很需要功力的。

我一直非常重视这个方面，保持了从高三开始一直到最后高考，数学的选择填空都没有错过的记录。要想拿高分可以，除了攻坚克难，先保证你有一部分精力投入到这5分一个的“16个小考验”中去。

3、 天赋没有勤来补

高考数学拼两个方面，努力和天赋。而对大部分（包括我在内）的普通人来说，天赋并不超人，也很难提高；所以你如果你有拿满分的伟大决心，先……脚踏实地吧。

疯狂做题总结，做题总结，做题总结。听着有点暴力无脑，但是总比一直不想刷题，苦苦追寻所谓的适合自己的正确学习方法来得有效。我朋友常说“很多事情别光想着逃避努力、寻找捷径，有时候所谓的捷径才是最远的路。”

绝大多数人没拿满分，都是还没有努力够，尚未轮到拼天赋的时候。

所以，抓起笔翻开习题集，冲向数学的海洋吧！

当你经历了高考再回头看，尤其是去到想去的大学追到的想要的姑娘以后，会感谢那个努力的自己的！

THE END

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