一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)(1)

内容分析

韦达定理:对于一元二次方程ax² bx c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x₁,x₂,那么x₁ x₂=-b/a,x₁×x₂=c/a

说明:(1)定理成立的条件b²-4ac≥0

(2)注意公式x₁ x₂=-b/a中的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处

(1)计算对称式的值

一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)(2)

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)(3)

【练习】

1.设x₁,x₂是方程2x²-6x+3=0的两根,则x₁²+x₂²的值为_________

2.已知x₁,x₂是方程2x²-7x+4=0的两根,则x₁+x₂=____,x₁·x₂=____,(x1-x2)²=____

3.已知方程2x²-3x k=0的两根之差为2,则k=___;

4.若方程x² (a²-2)x-3=0的两根是1和-3,则a=____;

5.若关于x的方程x² 2(m-1)x 4m²=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为__ ;

(2)构造新方程

理论:以两个数x₁,x₂为根的一元二次方程是x²-(x₁ x₂)x x₁x₂=0。

解方程组 x y=5

xy=6

解:显然,x,y是方程z²-5z 6=0 ① 的两根

由方程①解得 z₁=2,z₂=3

∴原方程组的解为 x₁=2,y₁=3

x₂=3,y₂=2

显然,此法比代入法要简单得多。

(3)定性判断字母系数的取值范围

一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)(4)

【典型例题】

已知关于x的方程x²-(k 1)x ¼k² 1=0,根据下列条件,分别求出k的值.

(1) 方程两实根的积为5;

(2) 方程的两实根x₁,x₂,满足∣x₁∣=x₂.

分析:

(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是x₁=x²>0,二是-x₁=x₂,所以要分类讨论.

一元二次方程根与系数的关系难题(一元二次方程根与系数的关系)(5)

说明:

根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足b²-4ac≥0.

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