传热仿真怎么建立节点（通过传热方程认识有限元软件传热模型）

有限元分析被广泛应用于航空航天、高能粒子、电气设备等各个方面。随着计算机技术的进步，大规模并行高性能服务器的广范围普及，促使计算机仿真和模拟这一领域极大地发展，随之也诞生了一大批有限元软件开发公司和一些具有代表性的有限元分析软件，比如ANSYS、MSC.MARC、COMSOL、ABAQUS等。其中MARC和ABAQUS主要集中在非线性模型的求解。Comsol主要聚焦于多物理场耦合处理。

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本节内容主要探究通过传热方程认识有限元软件的传热模型计算。首先引入传热方程：

该传热方程的核心是将温度随时间的变化转变为温度沿模型空间位置的分布。如果温度对时间的一阶偏导数为0，则认为温度的扩散和时间无关，这被称为是一个稳态的传播过程。此外传热过程设计材料的密度、热容Cp和热系数k等参数。这些参数有可能不是一个固定的常数，当这些参数随着时间或者温度变化，具有一定的函数关系的时候，我们认为该方程是一个非线性的方程。

求解该方程的关键在于给定合适的边界条件：

其中n是外法向矢量，该公式表明温度随法向矢量的变化可转变为边界条件温度的变化。其中Ta为环境温度。更进一步，如果传热系数h满足如下温度的函数

其中是有效辐射效率，我们认为该边界条件为辐射边界条件，可以求得辐射边界条件为：

其中为玻尔兹曼常数。

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传热模型分析

考虑一个三维的长方体传热模型：

我们引入无量纲化参数代替原有的时间变量和空间变量参数：

通过将无量纲化参数引入传热方程，可以改写传热方程为如下形式：

从改写后的传热方程我们可以看到温度的空间传播和模型的场L、宽W以及高度H相关。如果W大于3L，H大于3L，那么等式右边的第二项和第三项系数则小于0.1，因此方程可进一步简化为：

此时我们认为模型是一个热薄结构。将无量纲化方程改写为普通形式可以获得薄结构的传热方程为：

在这里热薄模型定义为结构的宽度和高度大于3倍结构的长度。以comsol为例，其在传热模型将薄结构单独作为一个模块列出来，所以当我们考虑使用薄结构的时候，需要考虑模型的长宽高的比例，避免错误使用模块。相应地，如果模型的长度和宽度以及高度相当，则该模型被称为热厚模型。

对于无量纲化传热方程，如果时间常数满足：

则无量纲传热方程左边的系数为1，该时间被称为热平衡时间常数。同样地如果热流Q满足条件：

则无量纲传热方程右边的第二项为1，该热流密度Q被称为特征热流密度。其能保持一个恒定的温差Tm-T0。

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边界条件分析

对边界条件进行无量纲化处理，可以得到无量纲化的边界条件：

如果L<<k/h，则方程右边的系数远远小于1，可忽略。此类边界条件称为热薄边界条件。

如果L>>k/h，则方程右边的系数不同忽略，此类边界条件称为热厚边界条件。通常以10倍的比例区分热薄和热厚，如果L<0.1k/h，则为热薄，否则为热厚。

对于热薄边界条件，其无量纲化合有量纲化边界条件如下：

该边界条件则认为温度沿法向矢量方向线性传播。假设该传播方向沿x轴，由于无量纲化温度的一阶偏导数为0，则可得其二阶偏导数为0：

则将热薄边界条件带入传热方程可得：

如果温度传播沿y和z轴方向相同，则方程可进一步简化为：

这是一个具有时间常数和特征热流密度的线性常微分方程。

该简化使我们理解了对于热薄边界条件，温度沿着厚度方向没有明显传播。

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总结

这里主要基于传热方程讨论了热薄结构和热厚结构，热薄边界条件和热厚边界条件。对于热薄结构的热厚边界条件的传热方程可以求得其解为：

再进行尺寸方法和缩小的时候，结构的尺寸比例也要考虑在内，比如长径比。当时间达到热平衡时间的时候，随着厚度的增加，也要考虑边界条件的类型。

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参考文献：Halvorsen S A , Schlanbusch R , Shinkevich S . Mathematical models for metallurgical scale-up[C]// The fourteenth International Ferroalloys Congress (Infacon XIV). 2015.

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