拉格朗日中值定理求导应用（应用拉格朗日中值定理）

高数的一些问题，真的是让人感到莫名其妙，比如下面这道证明题，竟然证明出了x轴的这么一个性质。即x轴的非负半轴上，可微的单调增函数非负，且图像经过原点，那么这个函数的图像一定是x轴的非负半轴。相信很多人听完都觉得莫名其妙，那就看看原题吧！

设f在[0, ∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0，证明：在[0, ∞)上f(x)≡0.

或许看完问题你仍然觉得莫名其妙，更不要说怎么证明了。不过数学的兴趣就是从这种“莫名其妙”中培养出来的哦。比如老黄的乐趣，就是证明这种“莫名其妙”的数学问题。

这个问题需要把非负区间[0, ∞)分割成无数个单位区间[n-1,n]，在每个单位区间中运用拉格朗日中值定理，证明每个区间中的函数f(x)都恒等于0，并且由函数可微，所以连续，求得每个单位区间的右端点都等于0，即f(n)=…=f(2)=f(1)=f(0)=0. 那么当n趋于正无穷大时，函数就在[0, ∞)上恒等于0.

需要特别指出的是，函数可微就可导，因此f(x)在[0, ∞)的任意子区间上，都满足拉格朗日中值定理的条件。

下面组织解题过程：

证：任取0<x<1, 在[0,x]上对f运用拉格朗日中值定理，知

存在点ξ1∈(0,x), 使得f’(ξ1)=(f(x)-f(0))/x=f(x)/x≤f(ξ1)≤f(x),【因为f'(x)>=0，所以函数单调递增，所以有f(ξ1)≤f(x)】

若f(x)>0, 则1/x≤1不成立! 【这是由f(x)/x≤f(x)，不等式两边同时除以f(x)推导出来的】

∴f(x)=f’(x)=0. ∵f可微,∴f(1)=0.

任取1<x<2, 在[1,x]上运用拉格朗日定理, 知

存在点ξ2∈(1,x), 使得f’(ξ2)=(f(x)-f(1))/(x-1)=f(x)/(x-1)≤f(ξ2)≤f(x),

若f(x)>0, 则1/(x-1)≤1不成立! ∴f(x)=f’(x)=0. ∵f可微,∴f(2)=0.【可见，在每一个单位区间上都有类似的结论，f(x)≡0】

依此类推, 任取n-1<x<n, 有f(x)=f’(x)=0, 且f(n)=0, n∈N*,

当n→∞时,在[0, ∞)上f(x)≡0.

最后也可以用数学归纳法的思想证明，但那样描述起来可能不是很方便，所以老黄用类似于“同理”的方法证明。

补充(-∞,0)的定义，使f(x)为偶函数，结合f(x)具有限定条件的任意性，就可以把这个性质推广到整条x轴，而不仅在非负半轴成立了。

如果使f(x)为奇函数，又可以把这个性质推广到更广的范围。最后可以得到结论：定义在R上，原点任一侧都单调的可微函数的导数恒在0和原函数之间，且存在一点的函数等于0时，这个函数就恒等于0，图像为x轴。

暂时不知道这个性质有什么有，就当练习应用拉格朗日中值定理的证明题吧。