初中数学难点剖解（课勤课清初中数学重点整理）

考点1.1、实数的概念及分类

1、 实数的分类

有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373...，，．

无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，－，0.1010010001...(两个1之间依次多1个0)．

实数：有理数和无理数统称为实数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2、无理数

　　在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：

　　（1）开方开不尽的数，如等；

　　（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 8等；

　　（3）有特定结构的数，如0.1010010001...等；

　　（4）某些三角函数，如sin60o等

注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准．

　　3、非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

　　4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴（"三要素"）

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

　 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

　　　作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

　　5、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a b=0，a=-b，反之亦成立。即：(1)实数的相反数是．(2)和互为相反数．

　　6、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即：﹝另有两种写法﹞

(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离．

☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若，则，，．

注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

　　7、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

即(1)实数(≠0)的倒数是．

　(2)和互为倒数。

　(3)注意0没有倒数．

　　8、有效数字

　　一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

　　9、科学记数法

　　把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

（1）确定：是只有一位整数数位的数．

（2）确定n：当原数≥1时，等于原数的整数位数减1；；当原数<1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。

例如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10ˉ5．

（3）.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位

（4）按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来．

10、实数大小的比较

　　知识1、数轴

　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　知识2、实数大小比较的几种常用方法

　　（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　（2）求差比较：设a、b是实数，

　　（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

　　（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

　　（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

11、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）

　　1、加法交换律

　　2、加法结合律

　　3、乘法交换律

　　4、乘法结合律

　　5、乘法对加法的分配律

　　6、实数的运算顺序

1． 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

2． （同级运算）从"左"到"右"（如5÷×5）;(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

12、有理数的运算：

加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

考点1.2、实数与二次根式

　　1、平方根

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

　　一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

　　正数a的平方根记做""。

　　2、算术平方根

　　正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作""。

　　正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

　　 （0）

　　 ；注意的双重非负性：

　　　　　　　　　　-（<0） 0

注意：算术平方根与绝对值

① 都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

3、算术平方根的估算方法：两端逼近法．

例如：估算．(精确到0．1)∵∴．又∵，

又∵6更靠近5．76，∴　　4、立方根

　　如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

　　一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

　　注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

　　二次根式

　　5、二次根式

　　式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号""；被开方数a必须是非负数。

　　6、最简二次根式

　　若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

　　化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

　　（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

　　（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

　　7、同类二次根式

　　几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

　　8、二次根式的性质

　　（1）

　　（2）

　　（3）

（4） 注：

　　9、根式运算法则：

　　⑴加法法则（合并同类二次根式）;

　　⑵乘、除法法则;

　　⑶分母有理化：A.;B.;C..

　　10.指数

　　⑴ (-幂，乘方运算)

① a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）

⑵零指数：=1（a≠0）

负整指数：=1/（a≠0,p是正整数）

　　11、二次根式混合运算

　　二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

考点1.3、代数式与整式

　　1、代数式

　　用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

　　表示方根的代数式叫做根式。

　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。　　　　注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。

　　2、单项式

　　只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

　　注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

　　注意：系数与指数：区别与①从位置上看;②从表示的意义上看

其含义有：

①不含有加、减运算符号．

②字母不出现在分母里．

③单独的一个数或者字母也是单项式．

④不含"符号"．多项式　　3、多项式

　　几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

　　单项式和多项式统称整式。

　　用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

　　注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

　　 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，"整体"代入。

　　4、同类项

　　所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

　　 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

　　 合并依据：乘法分配律

　　5、去括号法则

　　（1）括号前是" "，把括号和它前面的" "号一起去掉，括号里各项都不变号。

　　（2）括号前是"﹣"，把括号和它前面的"﹣"号一起去掉，括号里各项都变号。

　　6、整式的运算法则

　　　整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

　　　整式的乘法：　　　　　　　　　　　　　整式的除法：

　　　注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点1.4、整式的乘除 同上

考点1.5、因式分解

　　1、因式分解

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

　　2、因式分解的常用方法

　　（1）提公因式法：

　　（2）运用公式法：①

　　扩展：

　　 ② 扩展： 或

同理：或

③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．

公式拓展：⑥

　　　　　⑦⑧　　　　　⑨

　　　　　⑩

　　　　　⑾

　　（3）分组分解法：

　　（4）十字相乘法：

　　3、因式分解的一般步骤：

　　（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

　　（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

　　（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点1.6、分式

　　1、分式的概念

　　一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

　　2、分式的性质

　　（1）分式的基本性质：

　　分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

　　基本性质：=（m≠0）

　　（2）分式的变号法则：

　　分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

　　符号法则：

　　3、分式的运算法则　　　　技巧：　　　　

4、繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．

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