自然数的数学理论（自然之美鬼斧神功的）

#青云“叫好又叫座”作品征集#

公元5世纪，罗马人盛行“自由艺术”，它包括：数学、几何、天文学、音乐、语法、演说、辩论，在欧洲中世纪时，“自由艺术”被称为“七艺”。精通“七艺”的人，会普遍获得人们的尊敬，特别是“数学涵养”的高低，更是身份和地位的象征。在古希腊，柏拉图甚至曾在他所创办的学园门口写着“不懂几何学者不得入内”的牌子。

自然的，就是美的，就是和谐的。大自然的鬼斧神工，展现出了无与伦比的“自然”之美。自然为何美得如此惊艳？在于它的 “无穷”与“极限”的“对立统一”。

人类从远古的夜空走来，抬头昂望星空，面对着浩瀚的宇宙充满着瑰丽的想象和无限的好奇与困惑，这就是人类对“无穷”最为朴素的认识。

“无穷”的宇宙，到底有没有尽头？人类不断地仰天叩问苍穹。

“尽头”，这是对“极限”最为朴素的认知。

在漫长的人类发展史中，人们对“无穷”与“极限”的认识越来越深刻，最终发现了数学中“最自然”、“最美”的一个数：“自然底数e”。

这是一个将“无穷”与“极限”融为一体的“无理数”，这个神秘的数“e”最先由约翰纳皮提出，接着由约翰.伯努利首次把它当作“常数”，由莱布尼茨第一次在与友人的信件中使用，后来由欧拉正式命名为“自然底数e”。

什么是“自然底数e”呢？在数学中是这样描述的：对于数列{ ( 1 1/n )^n }，当n趋于“正无穷时”该“数列”所取得的“极限”就是“e”，即：e = lim (1 1/n)^n。通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式e = 1 1 1/2! 1/3! 1/4! …… 1/n!，n越大，越接近“e”的真值。

“自然底数e”是数学史上第一个被严格证明的“超越数”，它不是随意构造的，而是“自然”存在的。有人说，这样一个神秘的“自然底数e”或许隐藏着“大自然”的普遍规律。

在“自然底数e”被发现之前，人们在使用“对数”的很长的一段时间里是以“10”为底的，被称为“常用对数”。

“常用对数”虽然大大地简化了复杂的计算，但是依然显得十分烦琐，直到人们将“e”做为“对数”的底时，使一些烦琐的计算变得更加简约。

神秘的“e”在科学研究中，它的身影随处可见，最著名的是有着最美公式之称的“欧拉公式”。

“欧拉公式”是数学里最令人着迷的一个公式，它将“自然底数e”、“圆周率π”、“虚数单位i”和“自然数的单位1”和人类的重大发现“0”等这些划时代的“伟大发现”统一在了同一个公式中，数学家们称赞它是“上帝创造的公式”，它将“指数函数”的“定义域”扩大到“复数”，建立了“三角函数”和“指数函数”的关系，它在“复变函数论”被赞誉为“数学中的天桥”。

“欧拉公式”之所以如此美妙，在于它的“自然”。对于一个完美的圆来说，π才是“自然”的，对于最快速的指数增长来说，e才是“自然”的。

在大自然中，美丽的“对数螺线”随处可见：鹦鹉螺的贝壳、菊的种子、鹰接近它们的猎物时的飞行路线、蜘蛛网、夜空中星系的旋臂……这些美妙的自然图案可以用数学表达式来描述：φkρ=αe ，其中α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

在科学研究中，人们可以依据“e”来描述事物变化的周期：物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、复利的计算……

包罗万象的大自然，似乎总是符合“e”的表达式(1 1/x)^x 的描述：当x趋近“无穷”时，它的结果在“无限变化”中逼近一个固定值“e”。

同样，存在于无穷自然数之中的素数，也难逃自然数"e"的神奇魔幻。

世界数学界公认的数学王子高斯，在所有他热爱的关于数学的一切中，素数是他最钟情的珠宝。他幼时有一本对数书，书的最后有一张素数表。奇异的是现在两者被联系在了一起，因为高斯设法在两者之间找到了联系。

高斯尝试计算出有多少素数，而不仅仅是预测哪些数是素数。这就是最终解开素数的秘密的横向思维。他问：素数在全部数字中占多大比例？他发现数字越大，素数越少.他做了一张表，记录着素数所占的比例的变化.

例如，1000之内，平均每6个数中就有一个素数。

既然素数的分布看起来如此随机，也许掷骰子能够提供一个很好的素数分布模型。也许大自然用“素数骰子”来选择 1000 左右的质数，“素数”写在一面，另五面空白。为了决定1000是不是素数，大自然掷骰子来看它是否落在素数的一边。当然，这只是一个启发式模型。一个数要么是素数，要么不是素数，但高斯认为这个“素数骰子”也许会产生一个与真正的质素数序列具有相似性质的数字序列。

当我们检查越来越大的数字的是否为素数时，骰子有几个面？对于1000左右的素数，大自然似乎使用了一个六面骰子；对于10000000左右的素数，需要一个15面骰子。高斯发现，他那本含有素数表的书开头的对数表，为确定素数骰子上有多少面提供了答案。每当高斯把第一列的数字变成原来的的十倍时，记录骰子面数的最后一列中的数字大约会增加2.3。这样，我们就得到了有关素数的一个规律。高斯意识到，还有一个函数也有同样的功能，能把乘法变为加法，这就是对数函数。

我们将数字 N 输入到对数函数中，会输出一个数字，它就是方程的解。例如:

把输入乘以 10，输出就会加 1。

但是我们不必总是选择 10 来做 x 的底数，选择 10 只是由于我们有十个手指。不同的对数函数可以有不同的底数。每当输入乘以 10，高斯的素数骰子函数的输出都会增加 2.3。这个函数类似于一个对数函数，这个对数函数的底数称为 e=2.718281828459….

高斯猜测一个数N是素数的概率是1/log（N），其中，对数的底数取e。这是掷出一个有log（N）面的骰子，“素数”面朝上的概率。注意，当 N 变大时，log（N）也变大，在素数边朝上的概率随之变小。随着数字增大，素数的分布越来越稀疏。

如果大自然将素数骰子掷 100000 次，有着不同面数的骰子分别能得到多少素数？如果骰子有一个固定的边数，比如 6，那么得到的素数个数大约是 100000/6，这是 1/6 加起来 100000 次的概率。高斯将素数的这一猜测精确化为一个称为对数积分的函数，用 Li(N) 表示。

他的猜想被称为：高斯素数定理。

高斯发现了大自然用来选择素数的“素数骰子”。这些骰子的边数随着所选择的考数增大而增加。边的数目像对数函数一样增长。现在的问题是要确定这个骰子是如何落下的。正如一枚硬币很少竖立落下一样，高斯仍然不知道这个骰子是如何落下的.。

这个神秘的“自然底数”，似乎在向人们暗示着宇宙的形成、发展及衰亡的自然规律。

原创首发