定积分求数列极限区间怎么找（菜鸡速通微积分）

大家好！感谢阅读本鸡的拙作。

本文专为初学微积分的选手选手设计，需要复习微积分概念的，也很适合。

没有晦涩的证明，只说人话。

一个例子基本上可以说明数列所有的事，定义和极限存在法则。现在想想pi，圆周率。你肯定能写出来十进制表达式π=3.1415926........。现在你这样写，先写3.1，再写3.14，.......

这就得到一个序列，因为这一坨东西，每一个都是数，并且可以说第一个数、第二个数......

要理解，这实际上是一个映射，或者说函数，也就是用全体自然数，给特定的一坨数，贴上唯一的标签。你如果恰好懂“可列”这个词，那就太好了。如果不懂，暂时影响也不大；可以看本鸡的拙作“菜鸡速通微积分：自然数、有理数、奇数等等都一样多！一句话的事”。提这件事的目的在于，让你体会，数列的极限与函数的极限，基本上是一回事。

现在我们避开讨论一个困难的问题，就是你到底能不能写出来，实际上你写不出来，重要的是，你写不出来也不要紧。π只是一个符号，代表着圆周率。所有的无理数你都不知道确切的数值，但是无理数一定有其存在的意义：比如圆周率就是圆周长除以半径，这是比率的意思。

回来继续说。如果一系列数，最终能趋于一个数，就说那个数是数列的极限。记号在上面图里面最后一行，如果极限是实数L，那么就写

现在，重点来了。不难，但请别读太快。epsilon-N语言来了。先把这一列数，画出来。

仔细看图。

马上可以说单调收敛准则：数列单调有界必收敛。

现在，明摆着，虽然不知道π的具体值，但是，这个数列，最后的确会趋于π。原因是，比方说，如果你只观察到第二项，那么可以说π在3.1和3.15之间；观察到第三项以后，就可以说π在3.14和3.142之间，以此类推。后面说成是夹逼准则。

这样就能抽象出来几件事：

1.定义。不论给定多么小的一个数，记作epsilon，总有一个自然数N（项的下标，就是第几个的意思），使得有一个实数（现在是π），与第N 1项以后所有项的数值，差别不会超过epsilon。写出来，就是：

读作：任给一个epsilon，都存在一个正整数N，使得当n>N时，an与L的差不超过epsilon。

这就是所谓epsilon-N条件---L就是极限。也说数列收敛。这就是严格的数列极限定义。这里有一个很大的逻辑上的困难，最后再说。

2.定理

仍然看圆周率的图像，还有上面的表达式，就可以说，从第N 1项以后所有项，落在极限周围任意小的邻域（范围内）。你能看懂下面这个图了。

这个图告诉我们很多事

“去掉数列的前面（或者随便哪些）任意有限项，不改变其收敛性”；因为除了有限项，数值都在特定范围内。

并且“收敛序列一定有界，并且最终有界”；等价的“最终无界数列不收敛”这种情况麻烦些，序列可能趋于正无穷，或者负无穷，或者不断在正负无穷这两个东西跳来跳去。

柯西准则：从N开始，任意两项差别任意小。这简直是废话。

夹逼准则：回忆分割线上面的一段，观察下面的图，明摆着三个序列都收敛到π。这就是某序列被夹在两个序列之间，这两个序列有相同的极限，那么就逼着序列an有相同的极限。

本文的主题到此结束。下面多说几句。

前面有个巨大的困难，如果你事先不能明确有个东西叫做π，那么数列收敛到什么？这里涉及两个原则性的大问题：

1.实数的分析（极限）运算性质，完备性和连续性。意思是实数列如果收敛，那么极限是实数。以及，任何实数，都唯一对应着数轴上的一个点，数轴没有缝隙。

你可能说，废话，谁不知道π？你可拉倒吧，世界上没让人能写出π的十进制表达式。据说有人能背出上万位，但是，只要停下来，就是有限位，这就是有理数！为了避免篇幅，不去谈稠密性。所以，如果没有事先定义好π，e，根号2，.......你根本一步都走不了。

2.实数的代数运算（域）性质，你要谈四则运算法则，以及分配律。这里说的就是三件事：实数关于加法是Abel群，除去0以后对乘法也是Abel群，乘法对加法有左右分配律。极限也要做代数运算，比如极限的和差积商。

此外，实数还必须能够比较大小，否则你不能使用不等式来说事。

一句话，”实数集是具有上确界性质的有序域“。这就是是微积分绝对的基础；类似的，复数集也类似有完备性域性质，但有明显区别，复数不能直接比较大小。这是复分析的基础。因此，真正有水平的书，都会花大力气，从逻辑上定义实数。比如

素材还取自J.stewart的书，

以及同济高数。