张角定理怎么发明的（科普数学家朱谦）

春天来了，油菜花开了，我们看看图，2020.3.23

昨天写完古印度数学家婆罗摩笈多，查看记录的大纲，发现漏写了朱谦，大纲备注是发现了张角定理。

遍搜网络，没有找到朱谦的生平，只有“公元467年，东晋朱谦发现张角定理。”

朱谦这个名字应该是一个很常见的名，中国人挺喜欢“谦”这个字的。网络上发现好几个朱谦。同名的朱谦是明朝大将，而发现张角定理的朱谦，是东晋人。

另一个说法张角定理是由英文名音译的。张角定理的英文名，spread angle theorem，很大概率是从音译过来，张开的角度，简称张角，对应上中国历史东汉末年张角。这只是我的一个猜测。

第一个说法，我姑且认为他是真的吧。

朱谦，东晋人，于公元467年发现张角定理。至于生平，未知。张角定理记载于哪本数学算经，也未知。公元467年，是中国南北朝时期，北朝是北魏，南朝是南朝宋。南北朝时期，战争频发，朱谦对我们来说就像谜一样。

下面我们直接进入专题：

·张角定理

这个定理下面，我会推导出已知三条边长，求角平分线的长度和各种角，半角的正弦余弦正切值的公式。

在三角形ABC中，D是BC的一点，连接AD，那么

。

大家注意三条线的顶点都是A.

这个证明方法很多，我说个最简单的：

用三角形面积公式，面积等于两边乘以夹角的正弦。

大三角形可以写成两个小三角形的和。基本公式写出来，定理就得证了。

特殊情形：

AD是角平分线时，我们就可以算出AD的长了。

这里写个约定：三角形顶点是A，B，C,

三边长分别是a,b,c,

周长的一半是p，

面积是S。

那么张角公式就可以写成：

如果AD是角平分线，那我们就可以得出：

AD=

而余弦定理得知：

再根据三角函数半角公式，我们可以得出：

①

同样的事我们可以推出：

②

那么：

③

④

那么角平分线AD的长度为：

⑤

注意第三个正切公式：p*（p-a（b,c））与其余两个的比例。

总结：这里归纳了三角形三个角和三条边的关系，已知三边，求三个内角的正弦，余弦，正切值，以及内角半角的三角函数值。

张角定理的逆定理

逆定理同样成立。这个非常重要，是用来证明共线的一个重要定理。

在角ABC，D为角内一点，连接AD，

如果

，

那么B，C，D三点共线。

这个定理证明过程：

连接BC,交AD于D’.

根据张角的定理，可以得出：

又有已知，可以得出：

得出AD=AD’

那么D.D’重合。

介绍了长角定理，顺便把分角定理也说一下。

两个都是连接一个顶点和对边某点构成的图形里的边角关系的定理。

分角定理：

在三角形ABC中，D是BC所在直线的一点，连接AD，则有：

分角定理是几何数学中一个基础定理，证明过程非常简单。

和张角的定理证明很类似，

大致就是等式右边分子分母同时乘以AD，就是面积之比。

就不一一写出来了。

如果有错误或者疏漏，请大家留言指出来，我会修改订正的。

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