98年高考数学题答案及解析（一道1991年高考数学真题）

函数是高中数学的重点也是难点，而三角函数对于不少高中生来说更是难点中的难点。本文和大家分享一道1991年高考数学三角函数的真题：求函数y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合。

这道题的难度并不大，但是不少同学却感觉毫无思路，而学霸却说太简单了。下面我们一起来看一下这道题的解法。

要求函数y的最小值，那么需要先进行变换，这一步也是解题的关键。

一些同学看到函数y的形式后，首先想到的变形是这样的：

y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2

=(sinx)^2 2sinxcosx (cosx)^2 2(cosx)^2

=(sinx cosx)^2 2(cosx)^2。

上面这个变形看似进行了简化，但是到这一步后却很难再进一步化简，这也是一些同学做不出这道题的原因。

用三角恒等变换对三角函数化简时，大方向是先降幂再化为同一个角的同一个名称的三角函数，即化为y=Asin(ωx φ) B或者y=Acos(ωx φ) B的形式，然后再根据三角函数的性质求解。

所以本题求解过程需要用到两个重要的公式，分别是：

降幂公式：

2(cosx)^2=cos2x 1；

2(sinx)^2=1-cos2x。

辅助角公式：

asinx bcosx=√(a^2 b^2)sin(x φ)，其中tanφ=b/a。

需要注意的是，降幂公式不需要单独记忆，可以通过二倍角余弦公式倒推得到。

按照这个思路，这道题的正确变形方法应该为：

y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2

=(sinx)^2 (cosx)^2 2sinxcosx 2(cosx)^2

=1 sin2x cos2x 1

=sin2x cos2x 2

=√2sin(2x 45°) 2。

化简到这一步后，要求y的最小值，那么只需要sin(2x 45°)=-1即可，即y的最小值为2-√2。此时，2x 45°=360°k-90°，解出x的值即为y取最小值时x的值，然后写成集合形式即可。

这道真题考查的是三角函数的基本计算，只要掌握了三角函数解题的基本思路，求出结果并不难。

这道题就和大家分享到这里。