几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)

欧拉起初的惊人之举是给出了平方数的倒数和等于π^2/6,与欧拉同时代的数学家都没能解决这个问题,所以欧拉在1734年给出这一结论时,曾引起轰动。因整个数列中没有圆的踪迹,结果却出现了π,也很让这个结果吸引眼球。

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(1)

现在就来探讨这个级数鲜为人知的数学魅力。

首先在不知情的情况下探讨这个无穷级数是否会收敛呢?

变形:将每个数写成两个乘积形式然后向后移一项,如下蓝色部分

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(2)

发现:绿色部分是一样的,蓝色部分上面比下面的小

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(3)

综合得出:红色部分的级数要比欧拉级数的和要大

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(4)

聪明的你会看出:两个数乘积等于两个数之差

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(5)

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(6)

整理:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(7)

得到:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(8)

所以最终得到无穷级数的和:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(9)

所以欧拉级数是收敛的:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(10)

热身结束了,我们怎么来证明欧拉级数准确数值呢

首先sinX=0是个三角函数方程,那么X解肯定有无穷多个,可以写成:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(11)

学过导数的话,对sinX求一次导数,二次导数:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(12)

在X=0时得到b的值:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(13)

以此类推不断求导,我们就计算出了sinx方程的所有系数得到

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(14)

所有的函数都可以这样来构造成级数的形式,一次方程,二次曲线方程都可以。

欧拉从另外一种思路构建sinX的多项式:

sinX方程的根是:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(15)

-π到π之间含有sinX=0 方程的三个解: 0,π-π,其次用曲线来逼近正弦函数,所以多了一个系数c,最终形式为:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(16)

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(17)

只要逼近曲线在sin函数所在的0点斜率相同,就能完全吻合:观察不难得到C值:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(18)

整理得到

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(19)

以此类推得到以根的形式表示sinX的多项式

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(20)

那么sinX有两种表达式的形式,而且是相等的

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(21)

我们将根的多项式一项一项乘下去发现:

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得到:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(23)

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(24)

这就是欧拉级数的原理

比较X^5的系数你就会得到:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(25)

继续观察就会得到著名的沃利斯级数:

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(26)

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(27)

几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(28)

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几何级数如何推导(无穷的欧拉级数中存在着)(30)

沃利斯级数中:分子是全体偶数平方的乘积,分母是全体奇数平方的乘积,所以非常神奇。

这都是欧拉级数原理中所展现出来的数学魅力。

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