求根公式发展史(求根公式的赏析)

求根公式发展史(求根公式的赏析)(1)

二次方程求根公式,是每个中学阶段的学生不得不要面对的一个公式,几家欢喜几个愁,那么先来看看这个求根公式的样子是什么吧:

求根公式发展史(求根公式的赏析)(2)

二次方程求根公式

很复杂对不对?杂七杂八的什么都有,那么大家还记得它是怎么来的吗?忘记了的话,那么仔细看一看,假如记得就可以跳过下面这一段了。下面推导过程中,有一个前提b2-4ac≥0。

求根公式发展史(求根公式的赏析)(3)

配方法推导求根公式的过程

上面的这个过程就是配方法的过程,教课书里有说的。这也是一种很重要的数学思想,配方法。今天这篇文章不打算来探讨配方法的,而是来看看这个二次方程的求根公式的,我们一起来好好的研究这个二次求根公式?

首先,这个求根公式向我们展示了这样的一个事实:二次方程的实根是由其三个系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)完全确定的,也就是说,一个二次方程的三个系数知道的话,那么这个方程的实根情况也就确定了,这是一个(二次方程的)“万能”求根公式。它向我们展示了数学的抽象性、一般性和简洁美。

其次,这个公式包括了初中阶段所学过的全部运算:加、减、乘、除、乘方、开方。其中,除法要求分母不为零,这个是满足的;但是开平方要求被开方数非负,这个要求并不一定总能满足,基于这个原因,就导致了有的方程有实数根,有的方程没有实数根。这一个公式里面包含六种运算,在整个初中阶段,仅此一个。

第三,这个公式的本身就回答了解二次方程的三个问题:

1)方程有没有实根?

这个只需看开平方能够进行,也是上面所说的被开方数是否是非负,那么就只需计算Δ=b2-4ac的符号是否非负。

2)有实根时共有几个?

当Δ≥0时有两个实根。当Δ>0时,原二次方程有两个不相等的实根;当Δ=0时,原二次方程有两个相等的实根。

3)如何求出实根?

这个问题的答案就是它本身啊!

你看啊,一个公式就如此完整、完全、完善的回答了三个问题,难道这个公式不应该用perfect来概括嘛?实至名归啊!

第四,这个公式给我们提示了二次方程求根的解题程序,这个就是计算机的算法的模型啊!

1)将所给的方程化为标准形式

ax2 bx c=0 (a≠0)

确定系数a、b、c。

2)计算判别式Δ=b2-4ac ,考察其符号;

3)在Δ≥0的条件下,代入求根公式,算出实根来。

你现在还忍心说这个公式真的乱七八糟嘛?生活不缺乏美,缺乏的是发现的眼睛,你说了?

假如你还说,这个公式不能产生出什么新的东西了,学习数学了,既要正向用,也要逆向使用,那就将二次方程求根公式逆向推一遍,看能得到什么吧:

求根公式发展史(求根公式的赏析)(4)

二次方程求根公式的逆过程

这里的每一步都比较平常无奇,但平常的东西就有可能有意想不到的结果,假如我们将上面的过程倒过来书写,我们可以发现二次方程的一种新的解法。这里我就不在写了。(多一个公式就掉粉的!)

在这个新的解法中,我们可以发现,判别式其实是配方法的结果,并且判别式的本质上式完全平方式(2ax b)2,并且这个过程在竞赛问题中也有出现过。这个过程也可以说明判别式为什么会在方程讨论、不等式证明、函数求极值等许多领域应用范围如此之广。

一个简单的公式,包含如此之多的内容,难怪说数学是科学语言,是科学的基础,马克思曾说过:“任何学科只有用上了数学这个工具,才称之为科学!”不无道理。

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