圆锥的体积公式是由什么得来的（圆锥体积公式中的1）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

中考结束的那年暑假，我写了一篇小论文，后来我才知道所谓的“发现”其实是帕普斯-古尔丁定理。

我最初的问题是圆锥体积为何是等底等高圆柱体积的三分之一，这促使我开始思考面积、体积的含义。

当时我的好朋友他说可以把圆锥横切成片，每一片近似于高为的圆柱，然后再累加起来。切分的越密，体积就越精确。如果用极限语言来表示：

其中是圆锥半截面夹角的正切值。带入上述关系后，最终问题归结于求极限：

当时我们上网还不方便，也没有足够多的课外数学书，我们还不了解这个求和公式：

代入这个公式，相信当时理解极限也并不困难

朋友说这个极限就是1/3，我说这个怎么算，他的回答语焉不详。显然我对这个结果不是很满意，我在想有没有比较几何一点的方式去理解呢？

没过多久，我们开始初三总复习，当时有一道关于三角形重心的几何题：过三角形重心做射线平行于任意一边，被一侧的边所截取的线段，其长度是其平行边的三分之一。

这个命题的证明很简单，其等价于三角形重心三等分中线。到了高中学习平面向量知识后，容易证明重心的坐标公式

当时看到这个习题后，我当时就觉得我可能找到了问题的答案。

我们可以用旋转的方式思考圆锥的形成过程：圆锥半截面绕着对称轴旋转，与此同时，圆锥的重心经过的轨迹是圆弧，如果我们把这个圆弧和半截面面积相乘——

刚好等于圆锥体积！

这是一个巧合吗？还是冥冥中确实有什么规律在支配？于是我开始怀揣着惊喜，开始验证我所知道的旋转体公式，我发现全部正确！就连圆、圆环的面积，也可以用这种方式理解：

• 圆面积

线段的重心在中点处，故中点经过的弧长为

• 平环积

于是我“发现”了如下定理——

（帕普斯-古尔丁）旋转几何体体积等于半截面重心旋转时经过的弧长乘以半截面面积

那么怎么理解这个公式呢？

Part2理解

这个定理体现了两种思想：平均和运动。不过想要完全说明白，得让我们先回到对长度、面积、体积的思考。

长度是如何定义的呢？我们事先规定单位1，然后其余的长度都是由单位1去度量。面积、体积其实也是如此，我们规定一个单位面积（体积），然后用它去衡量图形的大小。例如一个三行四列的矩形，我们知道它是由个单位正方形组成，于是它的面积就是12. 矩形面积等于长乘宽，就是这么来的。乘法本身就和运动相关，我们同样可以将这12个正方形理解为，一行4个正方形沿列的方向平移了3次。这显然是等效的。

即便是斜向运动，但依然是三层。这就是“高”的几何意义

最早我们理解“点动成线、线动成面、面动成体”，下意识都会将运动理解为平移。例如柱面，就是由底面沿某方向的平移形成。而沿曲线运动的问题一般不是中学生能解决的。

帕普斯-古尔丁定理是研究沿圆运动的定理。它突显出了重心的重要性，而这在平移运动时是隐藏起来的，因为平移运动时，所有的点的移动都是完全一样的。重心体现了“平均”的思想，我们不需要研究旋转体半截面上所有点的移动，只要考虑重心的移动就可以，因为它的移动距离是所有移动的平均值。这点在圆运动中最为明显，请读者自行思考。

再来考虑运动。例如柱面体积公式，即便是平行移动，实际上我们需要考虑位移沿着底面垂直方向的投影——高

当位移刚好和底面垂直时，此时

于是进一步，我们写出更为一般的体积公式，我们可以把运动分解为若干个阶段：

我们还可以继续推广。前面我们假设底面积不变，我们也可以假设底面也在每时每刻变化着

变力做功或者是各种通量的公式。

用积分的语言表示：

其实这正好是物理学中的变力做功或者是各种通量的公式。

可是在帕普斯-古尔丁定理中，为什么没有余弦函数的踪影呢？原来，这是因为半径旋转的刹那可以视为是垂直于半径的平移！用极限解释：

有了这个定理后，还可以已知旋转体体积公式，反向求各种半截面的重心。例如半椭圆的重心、直角梯形的重心等，就不赘述了。

Part3结尾

发现这个定理后，我感到非常兴奋。后来我也常常会将自己思考的结果记录下，可是我深知学海无涯。

中学时的笔记本

子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。学习数学更是如此，有所发现固然值得自豪，但是坐井观天不去了解前人的研究，然后沾沾自喜止步不前，更有甚者认为自己是数学天才，视前人之研究如空气，随随便便就宣称“推翻”了某某理论，这种风气实在可怕。一来误人子弟，二来长期不被外界认可，可能会越加孤芳自赏。

我特别喜欢日剧《龙樱》里的一句话，它是全剧的点睛之笔：

没有遵守规则的精神，就不可能在学科上有所发现。世上大多数人都走进了一个误区，其实，只有遵守规则的人，才最具有创造力和个性。没错，在近代科学的领域，没有人是靠着异想天开获得重大发现的，大家都是深入理解基础研究，在遵守学科规则的基础上，对其进行研究。

与诸君共勉之。

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