解直角三角形辅助线 等腰直角三角形常用辅助线构造方法

【方法归纳】

等腰直角三角形“三线合一”．

如图等腰直角△ABC，D为斜边（底边）BC的中点，连接AD．AD是中线、角平分线，也是高线．

结论：①∠BDA＝∠CDA＝90°；

②BD＝AD＝CD＝1/2BC；③∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°．

【典型例题】

1．（11黑河）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．

图（1）

图（2）

图（3）

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【解题过程】

解：（1）EG＝CG，EG⊥CG．

（2）EG＝CG，EG⊥CG．理由如下：

延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，

∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，由图（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，

∴BE＝EF，∠F＝45°．∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝1/2FD＝FG．

∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，

又∵FG＝DG，∠CMG＝1/2∠EMC＝45°，∴∠F＝∠GMC．

∵在△GFE与△GMC中，FG＝MG,∠F＝∠GMC,EF＝CM，∴△GFE≌△GMC（SAS）．

∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，

∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．