用微积分解释芝诺悖论（数学家芝诺悖论的故事）

数学家芝诺

芝诺 （约前490-前425），英文Zeno of Elea，出生地为意大利半岛南部的埃利亚。古希腊数学家、哲学家，以芝诺悖论著称。

01

阿喀琉斯是古希腊神话中著名的英雄。芝诺说，让阿喀琉斯和乌龟赛跑，假如让乌龟先走一步，阿喀琉斯将永远赶不上乌龟。这听起来真是匪异所思。

但芝诺说了，你们不是说老师巴门尼德否定空间、时间的观点不对吗？假如有空间，这些空间肯定是由无数的点组成的，如果让乌龟先走一步的话，这先走的一步，肯定是由无数的点组成的，既然这些点是无穷无尽的，那阿喀琉斯怎么能迈过这无限的点，赶上乌龟呢？

这个结论虽然荒谬，但似乎也不大好反驳。如果不能反驳，那巴门尼德否定空间的观点就是对的。

还有“飞矢不动”。

芝诺认为：射出去的箭是不会射中目标的。因为如果有空间存在的话，射出去的箭，要经过空间的中很多点，在每一人点上，箭都是处于静止的状态，是不动的，那它怎么能射中目标呢。

通过许多悖论，芝诺成功地为巴门尼德关于存在是唯一的，否定空间、时间、变化的观点进行辩护。

巴门尼德坚持一元论，认为存在是唯一的，一元的，永恒不变的。反对他的人当然认为宇宙是多元的，是变化的。芝诺说，假如宇宙是多元的，那就会有多个单元，那么每个单元到底有没有体积呢？如果有，那么这个体积就公被分割成小的，而且会分割成无限个，到最后宇宙将无限分割，再也分割不完，成了无限大，这是荒谬的。

如果说这些单元没有体积的话，再怎么增加这些单元也都没有体积，宇宙就变成无限小了。所以不管是主张有体积还是没有体积，都得出了荒谬的结论，这就是他的归谬法。

芝诺用了许多类似的辩论方法，目的只有一个，证明他的老师巴门尼德的一元论是对的，就是没有变化、没有时间、没有空间。

芝诺的有些观点现在看来可能是错误的，之后亚里士多德一一加以驳斥。但是芝诺的可贵之处，在于他提供的一种思辨的方法，而且在思辨的过程，他熟练地运用了“正反合”的辩证法思维，所以被认为是辩证法的创始人。

02

芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。

芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。” 但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。

直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。

英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…。”

19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。

然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述。由于对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚。比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”也不是简单地把两只羊说成一只羊。在这些悖论后面有着更深层的内涵．亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的。

关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的．P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切．相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响。

基于同样的假设，H．赫斯(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难。芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础。另有一些学者持有完全不同的意见．B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法。